Nie mam pomysłu jak rozłożyć ten wielomian, proszę o pomoc.
\(\displaystyle{ W(x)=4x^{4} - 12x ^{3} + 25x ^{2} -48x+36}\)
Próbowałem z twierdzenia Bezouta lub wyłączyć coś przed nawias, jednak nic sensownego mi nie wychodziło...
Pozdrawiam
Wielomian - rozkładanie na czynnik
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Wielomian - rozkładanie na czynnik
\(\displaystyle{ W(x)=4x^{4} - 12x ^{3} + 25x ^{2} -48x+36\\
4x^{4} - 12x ^{3} + 25x ^{2} -48x+36=0\\
4x^{4} - 12x ^{3}=-25x^{2}+48x-36\\
4x^{4} - 12x ^{3}+9x^{2}=-16x^{2}+48x-36\\
\left( 2x^{2}-3x\right)^{2}=-16x^{2}+48x-36\\
\left( 2x^{2}-3x+ \frac{y}{2} \right)^{2}=\left( 2y-16\right) x^{2}-\left( 3y-48\right) x+ \frac{y^2}{4} -36\\
\left( 3y-48\right)^{2}=\left( y^{2}-144\right)\left( 2y-16\right)\\
9y^{2}-288y+2304=2y^{3}-16y^{2}-228y+2304\\
2y^{3}-25y^{2}=0\\
y^{2}\left( 2y-25\right)=0\\
\left( 2x^{2}-3x+ \frac{25}{4} \right)^{2}=\left( 9x^{2}+ \frac{21}{2}x+ \frac{49}{16} \right)\\
\left( 2x^{2}-3x+ \frac{25}{4} \right)^{2}=\left( 3x+ \frac{7}{4} \right)^{2}\\
\left( 2x^{2}-3x+ \frac{25}{4} \right)^{2}-\left( 3x+ \frac{7}{4} \right)^{2}=0\\
\left(2x^{2}-3x+ \frac{25}{4} +3x+ \frac{7}{4}\right)\left(2x^{2}-3x+ \frac{25}{4} -3x- \frac{7}{4} \right)=0\\
\left(2x^{2}+8 \right)\left( 2x^{2}-6x+ \frac{9}{2} \right)=0\\
\left( x^{2}+4\right)\left( 4x^{2}-12x+9\right)=0\\
\left( x^{2}+4\right)\left( 2x-3\right)^{2}\\}\)
Słów kilka o sposobie abyś nie miał już problemu z równaniem czwartego stopnia , pomysł jest taki aby sprowadzić równanie najpierw do postaci różnicy kwadratów a następnie do iloczynu dwóch trójmianów , dalej będzie prosto
Przenosisz trójmian kwadratowy na drugą stronę
(możesz wziąć go w nawias i wszystko robić na jednej stronie jak wolisz)
Po naszej lewej stronie (w rzeczywistości to prawa strona) zostaną wyrazy z \(\displaystyle{ x^4}\) oraz \(\displaystyle{ x^{3}}\)
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy/różnicydodajesz stronami taki wyraz aby nasza lewa strona równania była kwadratem
Po naszej prawej stronie masz trójmian kwadratowy , będzie on kwadratem gdy jego wyróżnik będzie równy zero
Gdybyś od razu liczył wyróżnik to by mogło się okazać że wyróżnik jest albo różny od zera albo tak jak w tym przypadku dostaniesz zespolone współczynniki
Musisz więc uzależnić wyróżnik od nowej zmiennej
W tym celu wprowadzasz nową niewiadomą tak aby nasza lewa strona nadal była kwadratem
(dodajesz odpowiednie wyrazy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy/różnicy)
Obliczając wyróżnik i przyrównując go do zera dostajesz równanie trzeciego stopnia które rozwiązujesz
i bierzesz jeden pierwiastek tego równania (ten który najlepiej pasuje)
Teraz gdy obie strony są kwadratami korzystasz ze wzoru skróconego na różnicę kwadratów
4x^{4} - 12x ^{3} + 25x ^{2} -48x+36=0\\
4x^{4} - 12x ^{3}=-25x^{2}+48x-36\\
4x^{4} - 12x ^{3}+9x^{2}=-16x^{2}+48x-36\\
\left( 2x^{2}-3x\right)^{2}=-16x^{2}+48x-36\\
\left( 2x^{2}-3x+ \frac{y}{2} \right)^{2}=\left( 2y-16\right) x^{2}-\left( 3y-48\right) x+ \frac{y^2}{4} -36\\
\left( 3y-48\right)^{2}=\left( y^{2}-144\right)\left( 2y-16\right)\\
9y^{2}-288y+2304=2y^{3}-16y^{2}-228y+2304\\
2y^{3}-25y^{2}=0\\
y^{2}\left( 2y-25\right)=0\\
\left( 2x^{2}-3x+ \frac{25}{4} \right)^{2}=\left( 9x^{2}+ \frac{21}{2}x+ \frac{49}{16} \right)\\
\left( 2x^{2}-3x+ \frac{25}{4} \right)^{2}=\left( 3x+ \frac{7}{4} \right)^{2}\\
\left( 2x^{2}-3x+ \frac{25}{4} \right)^{2}-\left( 3x+ \frac{7}{4} \right)^{2}=0\\
\left(2x^{2}-3x+ \frac{25}{4} +3x+ \frac{7}{4}\right)\left(2x^{2}-3x+ \frac{25}{4} -3x- \frac{7}{4} \right)=0\\
\left(2x^{2}+8 \right)\left( 2x^{2}-6x+ \frac{9}{2} \right)=0\\
\left( x^{2}+4\right)\left( 4x^{2}-12x+9\right)=0\\
\left( x^{2}+4\right)\left( 2x-3\right)^{2}\\}\)
Słów kilka o sposobie abyś nie miał już problemu z równaniem czwartego stopnia , pomysł jest taki aby sprowadzić równanie najpierw do postaci różnicy kwadratów a następnie do iloczynu dwóch trójmianów , dalej będzie prosto
Przenosisz trójmian kwadratowy na drugą stronę
(możesz wziąć go w nawias i wszystko robić na jednej stronie jak wolisz)
Po naszej lewej stronie (w rzeczywistości to prawa strona) zostaną wyrazy z \(\displaystyle{ x^4}\) oraz \(\displaystyle{ x^{3}}\)
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy/różnicydodajesz stronami taki wyraz aby nasza lewa strona równania była kwadratem
Po naszej prawej stronie masz trójmian kwadratowy , będzie on kwadratem gdy jego wyróżnik będzie równy zero
Gdybyś od razu liczył wyróżnik to by mogło się okazać że wyróżnik jest albo różny od zera albo tak jak w tym przypadku dostaniesz zespolone współczynniki
Musisz więc uzależnić wyróżnik od nowej zmiennej
W tym celu wprowadzasz nową niewiadomą tak aby nasza lewa strona nadal była kwadratem
(dodajesz odpowiednie wyrazy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy/różnicy)
Obliczając wyróżnik i przyrównując go do zera dostajesz równanie trzeciego stopnia które rozwiązujesz
i bierzesz jeden pierwiastek tego równania (ten który najlepiej pasuje)
Teraz gdy obie strony są kwadratami korzystasz ze wzoru skróconego na różnicę kwadratów