Rozwiąż równanie

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
adamus321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 23 lis 2011, o 21:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: daleko
Podziękował: 1 raz

Rozwiąż równanie

Post autor: adamus321 »

Bardzo prosił bym o pomoc przy kilku równaniach. Wiem że są one dość proste ale ja niestety ze względów zdrowotnych opuściłem sporo dni w szkole i teraz mam problem.
a) \(\displaystyle{ 3x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 2 = 0}\)
b) \(\displaystyle{ x^{2} + 4x - 5 = 0}\)
c) \(\displaystyle{ (x+3) (x-2) ( x^{4} - 25) (1-2x) = 0}\)
d) \(\displaystyle{ x^{4} + x^{3} - 2 x^{2} = 0}\)

Będę bardzo wdzięczny za pomoc
Ostatnio zmieniony 24 lis 2011, o 14:47 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Stosuj jedne klamry [latex][/latex] na całe wyrażenie.
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: mmoonniiaa »

No to kilka wskazówek:
a) wyciągamy przed nawias, tak aby otrzymać wspólny czynnik:
\(\displaystyle{ L=x^{2}\left( 3x-2\right)-\left( 3x-2\right)=\left( 3x-2\right)\left( x^{2}-1\right)=...}\)
b) Wylicz deltę i pierwiastki.
c) Dla jakich x każdy z nawiasów się zeruje? Będą to pierwiastki równania.
d) wyciągamy \(\displaystyle{ x^{2}}\) przed nawias: \(\displaystyle{ x^{2}\left( x^{2}+x-2\right)}\), a nastepnie delta i pierwiastki
W razie wątpliwości, pytaj.
adamus321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 23 lis 2011, o 21:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: daleko
Podziękował: 1 raz

Rozwiąż równanie

Post autor: adamus321 »

Czyli w podpunkcie A. mam wymnożyć te nawiasy??
W podpunkcie b \(\displaystyle{ x_{1} =-5 \;\; x_{2} = 1}\)???
W c nie bardzo wiem o co chodzi
W d \(\displaystyle{ x_{1} = 2 \;\; x_{2} = -2 \text{ i } x_{3} = 1}\) ?
Ostatnio zmieniony 24 lis 2011, o 17:00 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: mmoonniiaa »

a) nie wymnażamy tylko stosujemy jeszcze wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i ostatecznie otrzymujemy postać:
\(\displaystyle{ \left( 3x-2\right) \left( x-1\right) \left( x+1\right) =0 \Leftrightarrow x= \frac{2}{3} \vee x=1 \vee x=-1}\)
Tak własnie odczytujemy pierwiastki z postaci iloczynowej wielomianu: sprawdzamy dla jakich iksów kolejne nawiasy się zerują. Podobnie będzie w przykładzie c - spróbuj zrobić.
b) OK
d) \(\displaystyle{ x^{2}\left( x^{2}+x-2\right)}\)
dobrze rozwiązałeś wnętrze nawiasu: \(\displaystyle{ x_{2}=-2, x_{3}=1}\)
Ale \(\displaystyle{ x_1=0}\), bo \(\displaystyle{ x^{2}}\) zeruje się gdy iks jest zerem.
adamus321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 23 lis 2011, o 21:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: daleko
Podziękował: 1 raz

Rozwiąż równanie

Post autor: adamus321 »

No niestety chyba nie poradze sobie z tym podpunktem C ale i tak wielkie dzięki za pomoc
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: mmoonniiaa »

No to Ci pomogę.
Mamy taką postać:
\(\displaystyle{ (x+3) (x-2) ( x^{4} - 25) (1-2x) = 0}\)
Staramy się rozpisać na tyle nawiasów, żeby w każdym x był do możliwie jak najniższej potęgi.
W pierwszym, drugim i czwartym nawiasie x jest do pierwszej potęgi - zostawiamy.
Natomiast w trzecim x jest do czwartej potęgi, więc zastosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: \(\displaystyle{ \left( x^{4}-25\right) =\left( x^{2}-5\right) \left( x^{2}+5\right)}\)
I jeszcze raz, bo wciąż można obniżyć potęgę przy iksie, czyli mamy:
\(\displaystyle{ \left( x^{2}-5\right) \left( x^{2}+5\right)=\left( x- \sqrt{5} \right)\left( x+ \sqrt{5} \right)\left( x^{2}+5\right)}\)

Ostatecznie nasze równanie się mocno poszerzyło o 2 dodatkowe nawiasy, ale to tylko ułatwi nam rozwiązanie tego równania. Zapiszmy więc:
\(\displaystyle{ (x+3) (x-2) \left( x- \sqrt{5} \right)\left( x+ \sqrt{5} \right)\left( x^{2}+5\right) (1-2x) = 0}\)
I teraz wiemy, że iloczyn dowolnych liczb jest równy zero, jeśli chociaż jedna liczba jest równa zero.
Możemy więc zapisać, że:
\(\displaystyle{ x+3=0 \vee x-2=0 \vee x- \sqrt{5}=0 \vee x+ \sqrt{5}=0 \vee x^{2}+5=0 \vee 1-2x=0}\)

Teraz nie powinieneś mieć już problemu z odczytaniem pierwiastków tego wielomianu. Podaj swoją odpowiedź.
adamus321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 23 lis 2011, o 21:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: daleko
Podziękował: 1 raz

Rozwiąż równanie

Post autor: adamus321 »

Może i nie powinienem mieć problemu ale nadal go mam Tak to jest jak chodzi się na profil humanistyczny.
Czy to będzie tak:
\(\displaystyle{ x_{1} = -3\\
x_{2} = 2\\
x_{3} = \sqrt{5} \\
x_{4} = - \sqrt{5} \\
x_{5} = - \sqrt{5} \\
x_{6} = \frac{1}{2}}\)
Ostatnio zmieniony 24 lis 2011, o 17:12 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

Rozwiąż równanie

Post autor: mmoonniiaa »

Dobrze, oprócz tego, że \(\displaystyle{ x_{5}}\) nie istnieje, bo to: \(\displaystyle{ x^{2}+5=0}\) nie ma rozwiązań. Przecież przenosząc na drugą stronę: \(\displaystyle{ x^{2}=-5}\) otrzymujemy sprzeczność, bo żadna liczba podniesiona do kwadratu nie da nam liczby ujemnej.
adamus321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 23 lis 2011, o 21:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: daleko
Podziękował: 1 raz

Rozwiąż równanie

Post autor: adamus321 »

Jak zawsze masz racje
Jeszcze raz wielkie dzięki.
ODPOWIEDZ