Obliczanie reszty wielomianu oraz wyznaczanie parametru.

[cysiekk]

Zadanie 1.
Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przy dzieleniu przez dwumiany \(\displaystyle{ (x-1), \ (x+2), \ (x-3)}\) daje reszty odpowiednio równe 5, 2, 27. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)= (x-1)(x+2)(x-3)}\).
Proszę o w miarę dokładne wytłumaczenie schematu rozwiązywania, krok po kroku.

Zadanie 2.
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=2x^{4} - 3x^{3} + ax^{2} + a^{2}x + 2}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x-1)}\) jest większa od 3

Z góry dziękuję za wytłumaczenie zadań.

[kamil13151]

1) \(\displaystyle{ W(x)=G(x)(x-1)(x+2)(x-3)+ax^2+bx+c}\), tworzymy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=5 \\ W(-2)=2 \\ W(3)=27 \end{cases}}\)

2) \(\displaystyle{ W(1)>3}\)

[cysiekk]

Co do zadania 2. moje rozwiązywanie było następujące :
\(\displaystyle{ W(x)=2x^{4} - 3x ^{3} + ax^{2} + a^{2}x + 2}\)
\(\displaystyle{ W(1) > 3}\)
\(\displaystyle{ W(1) = 2-3+a+a^{2}+2 = a^{2} + a + 1}\)
\(\displaystyle{ W(1) > 3 \Leftrightarrow a^{2} + a +1 > 3}\)
\(\displaystyle{ a^{2} + a - 2 > 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 9}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{9} = 3}\)
\(\displaystyle{ a_{1} = \frac{-1-3}{2} = (-2)}\)
\(\displaystyle{ a_{2} = \frac{-1+3}{2} = 1}\)
\(\displaystyle{ (a+2)(a-1) > 0}\)
\(\displaystyle{ a > (-2) \vee a > 1}\)
\(\displaystyle{ a \in (1; \infty )}\)

Natomiast w rozwiązaniach w zbiorze zadań wynik wynosi \(\displaystyle{ a \in (- \infty ; -2) \cup (1; \infty )}\)
Prosiłbym o wskazanie w którym miejscu popełniłem błąd.

Co do zadania 1. Mógłbyś mi to bardziej przybliżyć ? Ułożyłem wspomniany układ równań, ale niestety nadal nie wiem co dalej :<

[kamil13151]

\(\displaystyle{ (a+2)(a-1) > 0}\)
Po tym źle, bo wg. Ciebie tylko iloczyn liczb dodatnich jest dodatni, a przecież może być to również iloczyn liczb ujemnych. Przy takich nierównościach rysujemy przybliżony wykres i z niego odczytujemy przedział.

1) \(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=5 \\ W(-2)=2 \\ W(3)=27 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a+b+c=5 \\ a(-2)^2+b(-2)+c=2 \\ a(3)^2+b(3)+c=27 \end{cases}}\) i wyznaczasz \(\displaystyle{ a,b,c}\). Reszta z dzielenia to \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\).

[cysiekk]

Dziękuje za wyjaśnienia, teraz już wszystko rozumiem w obydwu zadaniach