Podaj wzór wielomianu

[grzegorz87]

Pewien wielomian czwartego stopnia podzielny przez \(\displaystyle{ x^{2}+1}\), a jego pierwiastkami są liczby \(\displaystyle{ 1+\sqrt{6}}\) oraz \(\displaystyle{ 1-\sqrt{6}}\). Wiadomo, tez żę dla x=0 przyjmuje on wartość 10. Podaj wzór tego wielomianu?

[Tristan]

Z treści zadania wynika, że szukany wielomian jest postaci \(\displaystyle{ W(x)=a(x^2 +1)[( x- (1+ \sqrt{6})][ x- (1- \sqrt{6})]}\). Wpierw wyliczamy współczynnik a. Wiemy, że \(\displaystyle{ W(0)=10}\). Czyli:
\(\displaystyle{ a(0+1)(1+ \sqrt{6})(1- \sqrt{6})=10 \\ a(1-6)=10 \\ a=-2}\)
Teraz wystarczy, że wymnożymy nawiasy:
\(\displaystyle{ W(x)= -2(x^2 +1)[ x- (1+ \sqrt{6})][x - (1- \sqrt{6})] \\ W(x)=-2(x^2 +1)[ x^2 -(1- \sqrt{6})x - (1+ \sqrt{6})x +(1-6)] \\ W(x)= -2(x^2 +1)( x^2 -2x-5) \\ W(x)=-2( x^4 -2x^3 -5x^2 +x^2 -2x - 5) \\ W(x)=-2( x^4 -2x^3-4x^2 -2x-5) \\ W(x)=-2x^4 +4x^3 +8x^2 +4x+10}\)