Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3}}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ x^3+px^2+qx+r=0}\), to
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=-p \bigwedge x_{1}*x_{2}+x_{1}*x_{3}+x_{2}*x_{3}=q \bigwedge x_{1}*x_{2}*x_{3}=-r}\)
Dowód z wielomianem
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Dowód z wielomianem
Wielomian ten można zapisać jako:
\(\displaystyle{ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}\)
Przekształcając otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x^3 -x_1x^2-x_2x^2-x_3x^2+x_1x_2x+x_2x_3x + x_1x_3x -x_1x_2x_3}\)
Teraz wystarczy przyrównać współczynniki przy odpowiednich potęgach x.
\(\displaystyle{ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}\)
Przekształcając otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x^3 -x_1x^2-x_2x^2-x_3x^2+x_1x_2x+x_2x_3x + x_1x_3x -x_1x_2x_3}\)
Teraz wystarczy przyrównać współczynniki przy odpowiednich potęgach x.