Udowodnić, że równanie ma 2 pierwiastki

[matematyk261]

Proszę o pomoc w zadaniu:

Dowieść, że równanie \(\displaystyle{ \left( x-a\right) \left( x-c\right) +2\left( x-b\right)\left( x-d\right)=0}\), gdzie \(\displaystyle{ a<b<c<d}\), ma dwa pierwiastki.

[kamil13151]

Wymnóż i oblicz deltę, nie będzie ładna. Potem spróbuj wywnioskować, że poszczególne składniki są większe od innych itd. Może się przydać nierówność pomiędzy średnimi \(\displaystyle{ a^2+b^2 \ge 2ab}\), w tym przypadku równość nie zajdzie.

[Psiaczek]

niech \(\displaystyle{ f(x)=(x-a)(x-c)+2(x-b)(x-d)}\)

wtedy
\(\displaystyle{ f(a)=2(a-b)(a-d)>0}\)

\(\displaystyle{ f(b)=(b-a)(b-c)<0}\)

oraz

\(\displaystyle{ f(c)=2(c-b)(c-d)<0}\)

\(\displaystyle{ f(d)=(d-a)(d-c)>0}\)

z własności Darboux (\(\displaystyle{ f}\)jest ciągła) w każdym z przedziałów \(\displaystyle{ (a,b)}\) oraz \(\displaystyle{ (c,d)}\) jest jedno miejsce zerowe funkcji \(\displaystyle{ f.}\)