Proszę o pomoc w zadaniu:
Dowieść, że równanie \(\displaystyle{ \left( x-a\right) \left( x-c\right) +2\left( x-b\right)\left( x-d\right)=0}\), gdzie \(\displaystyle{ a<b<c<d}\), ma dwa pierwiastki.
Udowodnić, że równanie ma 2 pierwiastki
-
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 27 mar 2011, o 23:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Udowodnić, że równanie ma 2 pierwiastki
Wymnóż i oblicz deltę, nie będzie ładna. Potem spróbuj wywnioskować, że poszczególne składniki są większe od innych itd. Może się przydać nierówność pomiędzy średnimi \(\displaystyle{ a^2+b^2 \ge 2ab}\), w tym przypadku równość nie zajdzie.
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Udowodnić, że równanie ma 2 pierwiastki
niech \(\displaystyle{ f(x)=(x-a)(x-c)+2(x-b)(x-d)}\)
wtedy
\(\displaystyle{ f(a)=2(a-b)(a-d)>0}\)
\(\displaystyle{ f(b)=(b-a)(b-c)<0}\)
oraz
\(\displaystyle{ f(c)=2(c-b)(c-d)<0}\)
\(\displaystyle{ f(d)=(d-a)(d-c)>0}\)
z własności Darboux (\(\displaystyle{ f}\)jest ciągła) w każdym z przedziałów \(\displaystyle{ (a,b)}\) oraz \(\displaystyle{ (c,d)}\) jest jedno miejsce zerowe funkcji \(\displaystyle{ f.}\)
wtedy
\(\displaystyle{ f(a)=2(a-b)(a-d)>0}\)
\(\displaystyle{ f(b)=(b-a)(b-c)<0}\)
oraz
\(\displaystyle{ f(c)=2(c-b)(c-d)<0}\)
\(\displaystyle{ f(d)=(d-a)(d-c)>0}\)
z własności Darboux (\(\displaystyle{ f}\)jest ciągła) w każdym z przedziałów \(\displaystyle{ (a,b)}\) oraz \(\displaystyle{ (c,d)}\) jest jedno miejsce zerowe funkcji \(\displaystyle{ f.}\)