Rozwiąż nierówność.

[gabaa1995]

\(\displaystyle{ a^{3} +b ^{3} \ge a ^{2} b+a \cdot b ^{2} \\ \\
(a+b)(c+d) \ge 4 \sqrt{abcd}}\)

[anna_]

Rozwiąż czy udowodnij, bo to różnica.

[gabaa1995]

Rozwiąż czy udowodnij, bo to różnica.

udowodnić

[anna_]

\(\displaystyle{ a^{3} +b ^{3} \ge a ^{2} b+ab ^{2}}\)

\(\displaystyle{ a^{3} +b ^{3} -a ^{2} b-ab ^{2}\ge0}\)

\(\displaystyle{ (a + b)(a^2 - ab + b^2) -ab( a+b)\ge0}\)

\(\displaystyle{ (a+b)(a^2 - ab + b^2-ab)\ge0}\)

\(\displaystyle{ (a+b)(a - b)^2\ge0}\)

A resztę dośpiewaj sobie sama, bo nie podałaś założeń dotyczących \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)

[gabaa1995]

niestety założeń sama nie mam podanych.

[anna_]

\(\displaystyle{ (a+b)(a - b)^2\ge0}\)
No to nierówość będzie prawdziwa dla \(\displaystyle{ a \ge -b}\)

[gabaa1995]

\(\displaystyle{ (a+b)(a - b)^2\ge0}\)
No to nierówość będzie prawdziwa dla \(\displaystyle{ a \ge -b}\)

mogłabyś to dokładniej rozpisać?

[Psiaczek]

w tym drugim przy założeniu \(\displaystyle{ a,b,c,d \ge 0}\) można skorzystać z:

\(\displaystyle{ ( \sqrt{a}- \sqrt{b})^2 \ge 0,a+b \ge 2 \sqrt{ab}}\)

\(\displaystyle{ ( \sqrt{c}- \sqrt{d})^2 \ge 0,c+d \ge 2 \sqrt{cd}}\)

i pomnożyć stronami \(\displaystyle{ (a+b)(c+d) \ge 2 \sqrt{ab} \cdot 2 \sqrt{cd}}\)

[gabaa1995]

Możesz dokonczyć? nie chce się pomylić.-- 16 lis 2011, o 18:07 --anna_, mogłabyś dokończyć? prosze!

[Mariusz M]

gabaa1995,

\(\displaystyle{ \forall_{\left( a-b\right) \in \mathbb_{R}} \left( a-b\right)^2 \geq 0}\)

Nad R kwadrat jest zawsze nieujemny więc nierówność będzie prawdziwa wtedy gdy
pozostały czynnik będzie nieujemny