Układ równań

[Bitinful]

Mam problem z rozwiązaniem układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y = x \sqrt{3} - \frac{1}{H} x^{2} \\ y^{2} + x^{2} = R^{2} \end{cases}}\),

gdzie \(\displaystyle{ H}\) i \(\displaystyle{ R}\) są stałe.

Proszę o pomoc z rozwiązaniem i o wytłumaczenie krok po kroku.

Z góry dziękuję.

[kropka+]

Podaj wartości H i R.

[chlorofil]

No więc jakichś cudów to tu nie ma, musisz podstawić \(\displaystyle{ y}\) z pierwszego równania do drugiego, wyjdzie niestety wielomian stopnia 4.

[Bitinful]

No właśnie zupełnie nie mam pomysłu jak rozwiązać ten wielomian ;/

[chlorofil]

widzę, że układ najprawdopodobniej ułożyłeś celem rozwiązania jakiegoś zadania geometrycznego. Być może ułożyłeś go źle i dlatego wychodzi taki nieredukowalny wielomian 4 stopnia...

[Bitinful]

Nie jest to układ równań do zadania geometrycznego, a jest na pewno ułożony poprawnie. A dałoby się coś zrobić gdyby było:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y = x \sqrt{3} - \frac{1}{H} x^{2} \\ y^{2} - 2yR + x^{2} = 0 \end{cases}}\)

?

[kropka+]

Napisz, jak doszedłeś do tego układu. Masz 15 lat (tak?), więc jest to podejrzanie trudne jak na Twój wiek (pierwsza wersja to punkty przecięcia paraboli z okręgiem, a druga wersja jeszcze gorsza).

[Bitinful]

Właśnie chodzi o przecięcie paraboli z okręgiem. Ta parabola to równanie toru ruchu w rzucie ukośnym opisana równaniem: \(\displaystyle{ y = x \tg \alpha - \frac{gx ^{2} }{2 v^{2} \cos ^ {2} \alpha }}\), gdzie \(\displaystyle{ v = \sqrt{2gH}}\) i \(\displaystyle{ \alpha = \frac{1}{3} \pi}\)-- 16 lis 2011, o 13:00 --Ale czy to jest w ogóle do rozwiązania?

[chlorofil]

Jak najbardziej do rozwiązania, tylko trzeba by wykorzystać te wzory:
... go_stopnia

[kropka+]

Można to też rozwiązać np. graficznie. Podaj H i R.

[Bitinful]

Trzeba to rozwiązać bez podawania H i R.

[kropka+]

A ten okrąg to co?
Poza tym, ja mam w tablicach inne wzory dla rzutu ukośnego.-- 16 lis 2011, o 14:27 --Muszę zrobić krótką przerwę, więc podaję Ci wzory na rzut ukośny.
Najpierw jest rysunek. Rzucamy z punktu (0,0) czyli parabola ma tu miejsce zerowe. Z tego punktu wychodzi też wektor prędkości początkowej. Kąt między prędkością początkową i osią OX to \(\displaystyle{ \alpha}\). Odległość między miejscami zerowymi paraboli to zasięg rzutu oznaczony s.
Wierzchołek paraboli ma rzędną H (maksymalna wysokość). Współrzędne każdego punktu P(x,y) należącego do tej paraboli spełniają równania:

\(\displaystyle{ x=v _{o}t \cdot \cos \alpha \\ \\
y=v _{o} \cdot t \cdot \sin \alpha - \frac{g \cdot t ^{2} }{2}}\)

Ponadto czas wznoszenia wynosi

\(\displaystyle{ t _{h}= \frac{v _{o} \cdot \sin \alpha }{g}\\ \\
H= \frac{v _{o} \cdot \sin ^{2} \alpha }{2 \cdot g}\\ \\
s= \frac{v _{o} \cdot \sin 2 \alpha }{g}}\)

[Mariusz M]

Znam dwa pomysły na równanie czwartego stopnia
Rozkładasz równanie czwartego stopnia na czynniki kwadratowe np przekształcając wielomian do postaci różnicy kwadratów Wielomian grupujesz w dwa nawiasy w pierwszym masz wyrazy z \(\displaystyle{ x^4}\) oraz \(\displaystyle{ x^3}\)
w drugim trójmian kwadratowy (między nawiasami jest oczywiście minus)
Wyrażenie z pierwszego nawiasu sprowadzasz do kwadratu dodając do obydwu nawiasów
odpowiedni wyraz zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia
W drugim nawiasie masz trójmian kwadratowy więc będzie on kwadratem gdy jego wyróżnik będzie równy zero
Gdybyś liczył od razu wyróżnik trójmianu (wyrażenie z drugiego nawiasu) to miałbyś nikłe szanse że wynosi on zero
Trzeba więc uzależnić wyróżnik trójmianu (z drugiego nawiasu) od jakiejś zmiennej
Wprowadzasz nową zmienną tak aby wyrażenie z pierwszego nawiasu było nadal kwadratem
(dodajesz do obydwu nawiasów odpowiednie wyraz zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia )
Obliczasz wyróżnik trójmianu (wyrażenie w drugim nawiasie ) i przyrównujesz go do zera
Otrzymujesz równanie trzeciego stopnia i rozwiązujesz je
Bierzesz jeden pierwiastek tego równania i wstawiasz go do równania w miejsce wprowadzonej zmiennej
Teraz gdy wyrażenia w obu nawiasach są kwadratami stosujesz wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów

Innym podejściem jest skorzystanie z funkcyj symetrycznych
Tworzysz wielomian szóstego stopnia którego pierwiastkami są sumy dwóch
pierwiastków równania czwartego stopnia
Wobec prawdziwości wzoru Viete na sumę pierwiastków równanie to może być przekształcone odpowiednim podstawieniem do równania szóstego stopnia o niezerowych współczynnikach tylko przy parzystych potęgach
Współczynniki wielomianu szóstego stopnia są wielomianami symetrycznymi i mogą być wyrażone za pomocą współczynników równania czwartego stopnia
Aby wyrazić współczynniki wielomianu szóstego stopnia za pomocą współczynników równania czwartego stopnia
trzeba najpierw wyrazić je za pomocą funkcji symetrycznych podstawowych a następnie skorzystać z wzorów Viete
(nie na odwrót jak to pisali na innym forum)
BettyBoo pisała że istnieją jakieś algorytmy na wyrażenie wielomianów symetrycznych przez wielomiany symetryczne podstawowe ale nie podała a w książce do której odsyłała nie ma efektywnych algorytmów
tylko zgadywanie jakie wielomiany pomnożyć a jakie odjąć
Od blisko roku użytkownik ten nie loguje się jednak ale i tak by nie uzupełnił opisu tej metody
ponieważ "nie podejmuję się pisać wykładu"

[Bitinful]

Dobra dzięki wszystkim za udzielone odpowiedzi. Nie ma sensu dalej tego tematu ciągnąć, bo raczej nie da się nic dopowiedzieć. Spróbuję coś pokombinować z podpowiedzi użytkownika mariuszm, a jak nie nic nie wyjdzie to będzie trzeba jakoś inaczej się zabrać za zadanie.