Obliczyć pierwiastek równania

[norbert22]

Mam do policzenia pierwiastek równania \(\displaystyle{ -2x^3+8x^2-6x+2=0}\). Nie mam pojęcia jak to rozłożyć. Wolfram wyświetla jeden pierwiastek rzeczywisty ( o taki mi chodzi) równy ok. \(\displaystyle{ 3,14}\)...
Prosiłbym o pomoc.

[oskar11]

Powiem szczerze, że doczytałem teraz o wzorach Cardano i mam nadzieję, że dostałem wynik na drodze poprawnego rozumowania.

Ogólnie rzecz ma się tak, że równanie:
\(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d=0}\)
sprowadzamy do postaci kanonicznej:
\(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)

Znając wzory na \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\):
\(\displaystyle{ p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}}\)
\(\displaystyle{ q=\frac{2b^3}{27a^3}+\frac{d}{a}-\frac{bc}{3a^2}}\)

Podstawiasz te wartości, a później za \(\displaystyle{ y}\) wstawisz:
\(\displaystyle{ y=x+\frac{b}{3a}}\)

Masz już gotową postać kanoniczną, która wygląda następująco:

Przed kanoniczną musi być jeszcze znak - ze współczynnika a.

\(\displaystyle{ -\left[ \left( x-\frac{4}{3}\right) ^3-\frac{7}{3}\left( x-\frac{4}{3}\right) -\frac{47}{27}\right] =0}\)

\(\displaystyle{ x \approx 3.1479}\)

[Psiaczek]

Powiem szczerze, że doczytałem teraz o wzorach Cardano i mam nadzieję, że dostałem wynik na drodze poprawnego rozumowania.

Doczytałeś, ale chyba nie do końca bo trochę nieporządnie tłumaczysz i za wcześnie skończyłeś.


Po podzieleniu wyjściowego równania przez\(\displaystyle{ -2}\) dostajemy:

\(\displaystyle{ x^3-4x^2+3x-1=0}\)

podstawiamy \(\displaystyle{ y=x- \frac{4}{3}}\) , czyli \(\displaystyle{ x=y+ \frac{4}{3}}\) aby pozbyć się wyrazu z kwadratem iksa.

Otrzymujemy \(\displaystyle{ \left( y+ \frac{4}{3} \right)^3-4\left( y+ \frac{4}{3} \right)^2+3\left( y+ \frac{4}{3}\right) -1=0}\)

po redukcji \(\displaystyle{ y^3- \frac{7}{3}y- \frac{47}{27}=0}\)

no i OK, a potem podajesz nagle przybliżoną wartość pierwiastka, a gdzie dalsze rachunki?

Można chociaż do rezolwenty dojechać:

nowe podstawienie :\(\displaystyle{ y=t+ \frac{ \frac{7}{3} }{3t}=t+ \frac{7}{9t}}\)

i mamy:

\(\displaystyle{ \left( t+ \frac{7}{9t}\right)^3- \frac{7}{3}\left( t+ \frac{7}{9t}\right)- \frac{47}{27} =0}\)

po redukcji \(\displaystyle{ t^3+ \frac{343}{729t^3}- \frac{47}{27}=0}\)

podstawiamy \(\displaystyle{ z=t^3}\) i mamy

\(\displaystyle{ z+ \frac{343}{729z}- \frac{47}{27}=0}\)

co się sprowadza do:

\(\displaystyle{ z^2- \frac{47}{27}z+ \frac{343}{729}=0}\)

dojechałem do rezolwenty, może przyjdzie mariuszm i pociągnie dalej, on się lepiej na tym zna bo ja tymi wzorami od wielkiego święta rachuję

[Mariusz M]

Miał wprowadzone liczby zespolone ?

Przy podstawieniu użytym przez poprzednika trzeba uważać na zerowe pierwiastki
(tutaj akurat ich nie ma ale w przypadku innego równania)

\(\displaystyle{ \Delta= \frac{2209-1372}{729}= \frac{837}{729} \\
z= \frac{47\mp \sqrt{837} }{54}\\
z_{1}= \frac{188+4 \sqrt{837} }{216}\\
t= \frac{1}{6} \cdot \sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}\\
y= \frac{1}{6} \cdot \sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}+ \frac{14}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}}\\
x= \frac{1}{6} \cdot \sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}+ \frac{14}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}}+ \frac{4}{3}\\}\)


Pozostałe pierwiastki można otrzymać albo korzystając z pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki

\(\displaystyle{ \varepsilon_{1}=\exp{\left( \frac{2i\pi}{3} \right) }\\
\varepsilon_{2}=\exp{\left( \frac{4i\pi}{3} \right) }\\}\)

albo dzieląc przez dwumian \(\displaystyle{ \left( x-x_{1}\right)}\)
i rozwiązując równanie kwadratowe

\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{1}{6} \cdot \sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}+ \frac{14}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}}+ \frac{4}{3}\\
x_{2}=\frac{1}{6} \cdot \exp{ \frac{2i\pi}{3} } \sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}+ \frac{14}{3} \cdot \frac{1}{\exp{ \frac{2i\pi}{3} }\sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}}+ \frac{4}{3}\\
x_{3}=\frac{1}{6} \cdot \exp{ \frac{4i\pi}{3} } \sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}+ \frac{14}{3} \cdot \frac{1}{\exp{ \frac{4i\pi}{3} }\sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}}+ \frac{4}{3}\\}\)


Jak nie miał wprowadzonych zespolonych to
w przypadku gdy rezolwenta będzie miała wyróżnik ujemny
to niech się pobawi wzorem na sinusa/cosinusa kąta potrojonego

W równaniu \(\displaystyle{ y^{3}+py+q=0}\) możemy podstawić \(\displaystyle{ y=u+v}\)
nie trzeba wtedy uważać na zerowe pierwiastki rezolwenty
To co dostaniemy po tym podstawieniu przekształcamy w układ równań
który przypomina wzory Viete'a dla równania kwadratowego

Powyższe podstawienie można zmodyfikować tak
aby działało także równań czwartego stopnia

[norbert22]

Wielkie dzięki, liczb zespolonych jeszcze nie mam. Niedługo mnie to czeka A wracając jeszcze do równania to te podstawienia skądś się biorą czy tak z głowy, żeby po prostu upraszczały równanie.

[Psiaczek]

Wielkie dzięki, liczb zespolonych jeszcze nie mam. Niedługo mnie to czeka A wracając jeszcze do równania to te podstawienia skądś się biorą czy tak z głowy, żeby po prostu upraszczały równanie.

Dodam najpierw jeszcze dla formalności, choć pewnie zauważyłeś,że przy oznaczeniach przyjętych przez mariuszm
mamy \(\displaystyle{ x _{1} \approx 3.147899036}\) i doszliśmy do tajemniczej liczby która się pojawiła na początku.

A podstawienia - ludzie wymyślili. Ludzie zadziwiające rzeczy wymyślają. Na przykład jest tzw. przekształcenie Tschirnhausa, które pozwala usunąć trzy człony z wielomianowego równania ntego stopnia- człony z \(\displaystyle{ x^{n-1},x^{n-2},x^{n-3}}\). Taka informacja na przyszłość ,gdybyś napotkał tego typu równanie . Tylko od razu mówię to przekształcenie to mocna rzecz -jedną książke widziałem gdzie to było w miarę dobrze wytłumaczone, ale teraz nie mogę przypomnieć która to była.