Mam do policzenia pierwiastek równania \(\displaystyle{ -2x^3+8x^2-6x+2=0}\). Nie mam pojęcia jak to rozłożyć. Wolfram wyświetla jeden pierwiastek rzeczywisty ( o taki mi chodzi) równy ok. \(\displaystyle{ 3,14}\)...
Prosiłbym o pomoc.
Obliczyć pierwiastek równania
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 4 mar 2010, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 2 razy
Obliczyć pierwiastek równania
Ostatnio zmieniony 16 lis 2011, o 01:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Do tagowania używaj przycisku[latex] nad polem edycji.
Powód: Do tagowania używaj przycisku
-
- Użytkownik
- Posty: 97
- Rejestracja: 17 lip 2011, o 22:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: lubelskie
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1 raz
Obliczyć pierwiastek równania
Powiem szczerze, że doczytałem teraz o wzorach Cardano i mam nadzieję, że dostałem wynik na drodze poprawnego rozumowania.
Ogólnie rzecz ma się tak, że równanie:
\(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d=0}\)
sprowadzamy do postaci kanonicznej:
\(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
Znając wzory na \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\):
\(\displaystyle{ p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}}\)
\(\displaystyle{ q=\frac{2b^3}{27a^3}+\frac{d}{a}-\frac{bc}{3a^2}}\)
Podstawiasz te wartości, a później za \(\displaystyle{ y}\) wstawisz:
\(\displaystyle{ y=x+\frac{b}{3a}}\)
Masz już gotową postać kanoniczną, która wygląda następująco:
Przed kanoniczną musi być jeszcze znak - ze współczynnika a.
\(\displaystyle{ -\left[ \left( x-\frac{4}{3}\right) ^3-\frac{7}{3}\left( x-\frac{4}{3}\right) -\frac{47}{27}\right] =0}\)
\(\displaystyle{ x \approx 3.1479}\)
Ogólnie rzecz ma się tak, że równanie:
\(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d=0}\)
sprowadzamy do postaci kanonicznej:
\(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
Znając wzory na \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\):
\(\displaystyle{ p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}}\)
\(\displaystyle{ q=\frac{2b^3}{27a^3}+\frac{d}{a}-\frac{bc}{3a^2}}\)
Podstawiasz te wartości, a później za \(\displaystyle{ y}\) wstawisz:
\(\displaystyle{ y=x+\frac{b}{3a}}\)
Masz już gotową postać kanoniczną, która wygląda następująco:
Przed kanoniczną musi być jeszcze znak - ze współczynnika a.
\(\displaystyle{ -\left[ \left( x-\frac{4}{3}\right) ^3-\frac{7}{3}\left( x-\frac{4}{3}\right) -\frac{47}{27}\right] =0}\)
\(\displaystyle{ x \approx 3.1479}\)
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Obliczyć pierwiastek równania
Doczytałeś, ale chyba nie do końca bo trochę nieporządnie tłumaczysz i za wcześnie skończyłeś.oskar11 pisze:Powiem szczerze, że doczytałem teraz o wzorach Cardano i mam nadzieję, że dostałem wynik na drodze poprawnego rozumowania.
Po podzieleniu wyjściowego równania przez\(\displaystyle{ -2}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ x^3-4x^2+3x-1=0}\)
podstawiamy \(\displaystyle{ y=x- \frac{4}{3}}\) , czyli \(\displaystyle{ x=y+ \frac{4}{3}}\) aby pozbyć się wyrazu z kwadratem iksa.
Otrzymujemy \(\displaystyle{ \left( y+ \frac{4}{3} \right)^3-4\left( y+ \frac{4}{3} \right)^2+3\left( y+ \frac{4}{3}\right) -1=0}\)
po redukcji \(\displaystyle{ y^3- \frac{7}{3}y- \frac{47}{27}=0}\)
no i OK, a potem podajesz nagle przybliżoną wartość pierwiastka, a gdzie dalsze rachunki?
Można chociaż do rezolwenty dojechać:
nowe podstawienie :\(\displaystyle{ y=t+ \frac{ \frac{7}{3} }{3t}=t+ \frac{7}{9t}}\)
i mamy:
\(\displaystyle{ \left( t+ \frac{7}{9t}\right)^3- \frac{7}{3}\left( t+ \frac{7}{9t}\right)- \frac{47}{27} =0}\)
po redukcji \(\displaystyle{ t^3+ \frac{343}{729t^3}- \frac{47}{27}=0}\)
podstawiamy \(\displaystyle{ z=t^3}\) i mamy
\(\displaystyle{ z+ \frac{343}{729z}- \frac{47}{27}=0}\)
co się sprowadza do:
\(\displaystyle{ z^2- \frac{47}{27}z+ \frac{343}{729}=0}\)
dojechałem do rezolwenty, może przyjdzie mariuszm i pociągnie dalej, on się lepiej na tym zna bo ja tymi wzorami od wielkiego święta rachuję
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Obliczyć pierwiastek równania
Miał wprowadzone liczby zespolone ?
Przy podstawieniu użytym przez poprzednika trzeba uważać na zerowe pierwiastki
(tutaj akurat ich nie ma ale w przypadku innego równania)
\(\displaystyle{ \Delta= \frac{2209-1372}{729}= \frac{837}{729} \\
z= \frac{47\mp \sqrt{837} }{54}\\
z_{1}= \frac{188+4 \sqrt{837} }{216}\\
t= \frac{1}{6} \cdot \sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}\\
y= \frac{1}{6} \cdot \sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}+ \frac{14}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}}\\
x= \frac{1}{6} \cdot \sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}+ \frac{14}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}}+ \frac{4}{3}\\}\)
Pozostałe pierwiastki można otrzymać albo korzystając z pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki
\(\displaystyle{ \varepsilon_{1}=\exp{\left( \frac{2i\pi}{3} \right) }\\
\varepsilon_{2}=\exp{\left( \frac{4i\pi}{3} \right) }\\}\)
albo dzieląc przez dwumian \(\displaystyle{ \left( x-x_{1}\right)}\)
i rozwiązując równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{1}{6} \cdot \sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}+ \frac{14}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}}+ \frac{4}{3}\\
x_{2}=\frac{1}{6} \cdot \exp{ \frac{2i\pi}{3} } \sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}+ \frac{14}{3} \cdot \frac{1}{\exp{ \frac{2i\pi}{3} }\sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}}+ \frac{4}{3}\\
x_{3}=\frac{1}{6} \cdot \exp{ \frac{4i\pi}{3} } \sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}+ \frac{14}{3} \cdot \frac{1}{\exp{ \frac{4i\pi}{3} }\sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}}+ \frac{4}{3}\\}\)
Jak nie miał wprowadzonych zespolonych to
w przypadku gdy rezolwenta będzie miała wyróżnik ujemny
to niech się pobawi wzorem na sinusa/cosinusa kąta potrojonego
W równaniu \(\displaystyle{ y^{3}+py+q=0}\) możemy podstawić \(\displaystyle{ y=u+v}\)
nie trzeba wtedy uważać na zerowe pierwiastki rezolwenty
To co dostaniemy po tym podstawieniu przekształcamy w układ równań
który przypomina wzory Viete'a dla równania kwadratowego
Powyższe podstawienie można zmodyfikować tak
aby działało także równań czwartego stopnia
Przy podstawieniu użytym przez poprzednika trzeba uważać na zerowe pierwiastki
(tutaj akurat ich nie ma ale w przypadku innego równania)
\(\displaystyle{ \Delta= \frac{2209-1372}{729}= \frac{837}{729} \\
z= \frac{47\mp \sqrt{837} }{54}\\
z_{1}= \frac{188+4 \sqrt{837} }{216}\\
t= \frac{1}{6} \cdot \sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}\\
y= \frac{1}{6} \cdot \sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}+ \frac{14}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}}\\
x= \frac{1}{6} \cdot \sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}+ \frac{14}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}}+ \frac{4}{3}\\}\)
Pozostałe pierwiastki można otrzymać albo korzystając z pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki
\(\displaystyle{ \varepsilon_{1}=\exp{\left( \frac{2i\pi}{3} \right) }\\
\varepsilon_{2}=\exp{\left( \frac{4i\pi}{3} \right) }\\}\)
albo dzieląc przez dwumian \(\displaystyle{ \left( x-x_{1}\right)}\)
i rozwiązując równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{1}{6} \cdot \sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}+ \frac{14}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}}+ \frac{4}{3}\\
x_{2}=\frac{1}{6} \cdot \exp{ \frac{2i\pi}{3} } \sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}+ \frac{14}{3} \cdot \frac{1}{\exp{ \frac{2i\pi}{3} }\sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}}+ \frac{4}{3}\\
x_{3}=\frac{1}{6} \cdot \exp{ \frac{4i\pi}{3} } \sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}+ \frac{14}{3} \cdot \frac{1}{\exp{ \frac{4i\pi}{3} }\sqrt[3]{188+4 \sqrt{837}}}+ \frac{4}{3}\\}\)
Jak nie miał wprowadzonych zespolonych to
w przypadku gdy rezolwenta będzie miała wyróżnik ujemny
to niech się pobawi wzorem na sinusa/cosinusa kąta potrojonego
W równaniu \(\displaystyle{ y^{3}+py+q=0}\) możemy podstawić \(\displaystyle{ y=u+v}\)
nie trzeba wtedy uważać na zerowe pierwiastki rezolwenty
To co dostaniemy po tym podstawieniu przekształcamy w układ równań
który przypomina wzory Viete'a dla równania kwadratowego
Powyższe podstawienie można zmodyfikować tak
aby działało także równań czwartego stopnia
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 4 mar 2010, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Włocławek
- Podziękował: 2 razy
Obliczyć pierwiastek równania
Wielkie dzięki, liczb zespolonych jeszcze nie mam. Niedługo mnie to czeka A wracając jeszcze do równania to te podstawienia skądś się biorą czy tak z głowy, żeby po prostu upraszczały równanie.
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Obliczyć pierwiastek równania
Dodam najpierw jeszcze dla formalności, choć pewnie zauważyłeś,że przy oznaczeniach przyjętych przez mariuszmnorbert22 pisze:Wielkie dzięki, liczb zespolonych jeszcze nie mam. Niedługo mnie to czeka A wracając jeszcze do równania to te podstawienia skądś się biorą czy tak z głowy, żeby po prostu upraszczały równanie.
mamy \(\displaystyle{ x _{1} \approx 3.147899036}\) i doszliśmy do tajemniczej liczby która się pojawiła na początku.
A podstawienia - ludzie wymyślili. Ludzie zadziwiające rzeczy wymyślają. Na przykład jest tzw. przekształcenie Tschirnhausa, które pozwala usunąć trzy człony z wielomianowego równania ntego stopnia- człony z \(\displaystyle{ x^{n-1},x^{n-2},x^{n-3}}\). Taka informacja na przyszłość ,gdybyś napotkał tego typu równanie . Tylko od razu mówię to przekształcenie to mocna rzecz -jedną książke widziałem gdzie to było w miarę dobrze wytłumaczone, ale teraz nie mogę przypomnieć która to była.