Jak sprytnie rozkładać wielomiany na czynniki?

oskar11 · Post autor: **oskar11** » 15 lis 2011, o 21:23

Witam!

Mam do Was pytanie, w jaki sposób można szybko poradzić sobie z poniższymi wielomianami rozkładając je na czynniki przez grupowanie wyrazów:

\(\displaystyle{ W(x)=x^6-x^5-x^2+x \\
W(x)=x^5+x^3-x^2+1 \\
W(x)=x^5+3x^4-4x^3-12x^2}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 15 lis 2011, o 21:24

Na podstawową :
1) x przed nawias

2) grupowanie i wyłączanie

3) wzory skróconego mnożenia.

[edit] Podałem sposoby (ogólne) niekoniecznie pasują do przykładów.

oskar11 · Post autor: **oskar11** » 15 lis 2011, o 21:34

Okej, to może pierwsze spróbuję:
\(\displaystyle{ x^5(x-1)-x(x-1) \\
(x-1)(x^5-x) \\
(x-1)(x^5-x) \\
(x-1)x(x^4-1) \\
(x-1)x(x^2-1)(x^2+1) \\
(x-1)x(x-1)(x+1)(x^2+1) \\
(x-1)^2x(x+1)(x^2+1)}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 15 lis 2011, o 21:38

oskar11 · Post autor: **oskar11** » 15 lis 2011, o 21:53

Jak mamy jeszcze coś tego typu;
\(\displaystyle{ (x^2+1)(x^3-1)}\)
To z drugiego nawiasu a mamy równe x i b równe 1 i można to zapisać tak?
\(\displaystyle{ (x^2+1)(x-1)(x^2+x+1)}\)
Spotkałem się kiedyś z określeniem niepełny kwadrat sumy (czy to będzie ten ostatni nawias?)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 15 lis 2011, o 21:56

Można to tak nazwać.

oskar11 · Post autor: **oskar11** » 15 lis 2011, o 22:16

I jeszcze jednego "typu":
\(\displaystyle{ W(x)=(9x^2-6x+1)-(4x^2+20x+25)}\)
Tutaj od razu są dwa wzory skróconego mnożenia, z tymże autorzy zbioru pozbywają się nawiasów i chcą wyciągania przed nawias, no i właśnie po pozbyciu się nawiasów dostaję:
\(\displaystyle{ 5x^2-26x-24}\)
Jak można taką postać jeszcze uprościć. Chodzi mi o ogólne postępowanie, gdzie poprzednie metody nie działają.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 15 lis 2011, o 22:17

Kwadratowe to ,,deltą".

oskar11 · Post autor: **oskar11** » 15 lis 2011, o 22:38

Z tymże tutaj dość paskudna ta delta wychodzi, bo dostaję \(\displaystyle{ 1156}\), pierwiastek równy \(\displaystyle{ 34}\), a pierwiastki algebraiczne \(\displaystyle{ 6}\), \(\displaystyle{ - \frac{4}{5}}\).

No i teraz jeszcze postać iloczynowa, żeby zgodziło się to z wielomianem:
\(\displaystyle{ \left( x-6 \right) \left( x-\frac{4}{5} \right)\\
x^2-\frac{4x}{5}-6x+\frac{24}{5}}\)
No i w zasadzie teraz mnożenie razy 5 i znów do iloczynowej?
\(\displaystyle{ (x-6)(5x-4)}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 16 lis 2011, o 08:19

W zasadzie tak, ale iloczynowa to \(\displaystyle{ a(x-x_1)(x-x_2)}\) i jest od razu po znalezieniu pierwiastków.

dwumian · Post autor: **dwumian** » 16 lis 2011, o 15:32

Często przy rozkładzie pomocne jest twierdzenie o pierwiastkach wymiernych (lub całkowitych).

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 16 lis 2011, o 21:23

dwumian pisze:Często przy rozkładzie pomocne jest twierdzenie o pierwiastkach wymiernych (lub całkowitych).

Ale nie na maturze podstawowej - wiem, że nie jest zabronione - ale przykłady (właśnie na maturze) są pasujące do metod jakie podałem.