szukanie zbioru rozwiązań równania

kicpereniek · Post autor: **kicpereniek** » 15 lis 2011, o 18:34

Witam!
Serdecznie proszę o pomoc przy rozwiązaniu zadania o następującej treści:
Zbiór rozwiązań równania \(\displaystyle{ x ^{3} + bx ^{2} +bx+1=0}\) jest dwuelementowy. Znajdź ten zbiór
Jak zabrać się za to zadanie?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 15 lis 2011, o 18:42

To oznacza, że jedno z rozwiązań jest dwukrotne. Czyli jakiej postaci musi być ten wielomian?

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 15 lis 2011, o 18:51

jeśli w równaniu trzeciego stopnia współczynniki położone są symetrycznie, to \(\displaystyle{ -1}\) zawsze jest pierwiastkiem, zatem możesz podzielić swój wielomian przez \(\displaystyle{ (x+1)}\) :

\(\displaystyle{ x^3+bx^2+bx+1=(x+1)(x^2+(b-1)x+1)}\)

wyrażenie w drugim nawiasie musi być pełnym kwadratem, to daje dwie możliwości na \(\displaystyle{ b}\), lecz jedna odpada ze względu na pierwszy nawias - byłby zbiór rozwiązań jednoelementowy przy niej.

kicpereniek · Post autor: **kicpereniek** » 15 lis 2011, o 21:35

Ok, dzięki za pomoc, mam tylko pytanie o co chodzi w tym, że współczynniki są położone symetrycznie?

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 15 lis 2011, o 21:40

kicpereniek pisze:Ok, dzięki za pomoc, mam tylko pytanie o co chodzi w tym, że współczynniki są położone symetrycznie?

współczynnik pierwszy jest taki sam jak czwarty-ostatni, a drugi tam sam jak trzeci. U ciebie to zachodzi w postaci równości \(\displaystyle{ 1=1,b=b}\)