Problem ze znalezieniem pierwiastków wielomianu

[mechtech]

Witam!

Mam problem ze znalezieniem pierwiastków wielomianu

\(\displaystyle{ x^{4}}\) - \(\displaystyle{ 6^{3}}\) + \(\displaystyle{ 11^{2}}\) + \(\displaystyle{ 12x}\) - \(\displaystyle{ 26}\)


Próbowałem wszystkimi sposobami, zastanawiam się, czy być może, nie był podany \(\displaystyle{ x_{1}}\), którego nie spisałem

[Marcinek665]

Dzielniki wyrazu wolnego sprawdzałeś?

[mechtech]

Tak, żaden z nich nie pasuje, skorzystałem ze schematu Hornera, twierdzenia Bézouta i nic

[Marcinek665]

Domyślam się, że chodzi o wielomian:

\(\displaystyle{ x^4 - 6x^3 + 11x^2 + 12x - 26}\)

Faktycznie, żaden dzielnik wyrazu wolnego nie działa, ale trochę cierpliwości i można uzyskać wynik:

\(\displaystyle{ x^4 - 6x^3 + 11x^2 + 12x - 26 = 0}\)

\(\displaystyle{ (x^4 - 6x^3 + 13x^2) - (2x^2 - 12x + 26) = 0}\)

\(\displaystyle{ x^2(x^2 - 6x + 13) - 2(x^2 - 6x + 13) = 0}\)

\(\displaystyle{ (x^2 - 2)(x^2 - 6x + 13) = 0}\)

Czyli \(\displaystyle{ x^2 - 2 = 0}\) lub \(\displaystyle{ x^2 - 6x + 13 = 0}\).

To drugie równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych, natomiast to pierwsze daje 2 rozwiązania \(\displaystyle{ x=\sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x=-\sqrt{2}}\).

Pozdrawiam

[mechtech]

Aha, czyli takie to buty

Wielkie dzięki, jako, że chodzi mi o wszystkie możliwe pierwiastki, więc z pewnością, z drugiegoi równania, po obliczeniu:

\(\displaystyle{ x^{2}}\) - \(\displaystyle{ 6x}\) + \(\displaystyle{ 13}\) = \(\displaystyle{ 0}\)
Δ = \(\displaystyle{ - 16}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{-16}}\) = \(\displaystyle{ 4j}\) \(\displaystyle{ \cup}\) \(\displaystyle{ -4j}\)

\(\displaystyle{ x_{3}}\) = \(\displaystyle{ 3 - 2j}\)
\(\displaystyle{ x_{4}}\) = \(\displaystyle{ 3 + 2j}\)

Reasumując: \(\displaystyle{ (x - \sqrt{2}}\))(\(\displaystyle{ x + \sqrt{2}}\))\(\displaystyle{ (x - 3 + 2j) (x - 3 - 2j)}\)


Wielkie dzięki! )

[Mariusz M]

Grupowanie też nie zawsze działa

Podam sposób który działa dla każdego wielomianu czwartego stopnia

\(\displaystyle{ x^4-6x^3+11x^2+12x-26=0\\
x^4-6x^3=-11x^2-12x+26\\
x^4-6x^3+9x^2=-2x^2-12x+26\\
\left( x^2-3x\right)^2=-2x^2-12x+26\\
\left( x^2-3x+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( y-2\right) x^2-\left( 3y+12\right) x+ \frac{y^2}{4} +26\\
\left( 3y+12\right)^2= \left( y^2+104\right)\left( y-2\right)\\
9y^2+72y+144=y^3-2y^2+104y-208\\
y^3-11y^2+32y-352=0\\
y^2\left( y-11\right)+32\left( y-11\right)=0\\
\left( y-11\right)\left( y^2+32\right)=0\\
\left( x^2-3x+ \frac{11}{2} \right)^2=9x^2-45x+ \frac{225}{4}\\
\left( x^2-3x+ \frac{11}{2} \right)^2=\left( 3x- \frac{15}{2} \right)^2\\
\left( x^2-3x+ \frac{11}{2} \right)^2- \left( 3x- \frac{15}{2} \right)^2=0\\
\left( x^2-6x+13\right)\left( x^2-2\right)=0\\
\left( x-3-2j\right)\left( x-3+2j\right)\left( x- \sqrt{2} \cdot j \right)\left( x+ \sqrt{2} \cdot j \right)=0}\)