Środek symetrii, przesunięcie

[Laurence]

Mam problem z dwoma, wydaje się że prostymi zadaniami - co nie zmienia faktu że nie wiem za bardzo jak się za nie zabrać :

1.Czy dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c wykres funkcji \(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c}\) można otrzymać odpowiednio przesuwając wykres funkcji \(\displaystyle{ x^{2}}\)

2. Wykaż że dla dowolnych a,b,c rzeczywistych wykres funkcji \(\displaystyle{ x^{3}+ax^{2}+bx+c}\) ma środek symetrii.

[lukasz1804]

1. Problem będzie już przy różnych wartościach \(\displaystyle{ a}\), np. z paraboli \(\displaystyle{ y=x^2}\) nie da się w wyniku przesunięcia o wektor otrzymać paraboli \(\displaystyle{ y=2x^2}\).

2. Wystarczy wykazać, że istnieje liczba \(\displaystyle{ z\in\mathbb{R}}\) taka, że dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) wartości wielomianu dla argumentów \(\displaystyle{ z-x}\) oraz \(\displaystyle{ z+x}\) są liczbami przeciwnymi.

[Laurence]

Dalej mam problem z drugim... Próbowałem znaleźć liczbę z poprzez podstawienie pod \(\displaystyle{ x}\) do wielomianu \(\displaystyle{ z-x}\) oraz \(\displaystyle{ z+x}\) i zrobienie z powstałych wyrazów równości (gdzie po jednej stronie znajdował się minus) ale z obliczeń tych nie umiałem wyciągnąć z. W jaki sposób go obliczyć/zgadnąć?

[Psiaczek]

Dalej mam problem z drugim... Próbowałem znaleźć liczbę z poprzez podstawienie pod \(\displaystyle{ x}\) do wielomianu \(\displaystyle{ z-x}\) oraz \(\displaystyle{ z+x}\) i zrobienie z powstałych wyrazów równości (gdzie po jednej stronie znajdował się minus) ale z obliczeń tych nie umiałem wyciągnąć z. W jaki sposób go obliczyć/zgadnąć?

Z geometrycznych rozważań to mi wygląda ,że środek symetrii będzie znajdował się w punkcie przegięcia wykresu

(druga pochodna wynosi \(\displaystyle{ 6x+2a=2(3x+a)}\), czyli punkt przegięcia będzie dokładnie jeden)

ten punkt przegięcia ma współrzędne \(\displaystyle{ \left( -\frac{a}{3}, \frac{2a^3-9ab}{27}+c \right)}\)

jego druga współrzędna nie zawsze równa się zero, więc nie dziw się,że sposób którego chciałeś użyć nie zadziałał.

[Laurence]

Dzięki za jak mniemam prawidłową odpowiedź, jednak obawiam się że to nie jest dobry sposób na rozwiązanie tego zadania jeśli jest ono jednym z pierwszych z funkcji... Na pewno nie ma tutaj mowy o działaniach na pochodnych czy innych bardziej zaawansowanych metodach, jedyne co zostało wprowadzone na lekcji to proste definicje np. funkcji parzystych/nieparz., monotoniczność itp. i to też powinno wystarczyć.