Dla jakich wartości parametrów a,b wielomian W(x)...

eiliat · Post autor: **eiliat** » 13 lis 2011, o 13:04

Dla jakich wartości parametrów a,b wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x), jeśli:
\(\displaystyle{ W(x)=x^4-3x^3+3x^2-ax+2}\)
\(\displaystyle{ P(x)=x^2-3x+b}\)

Dochodzę do założenia:
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)*P(x)}\)

Wielomian W(x) jest stopnia 4, wielomian P(x) drugiego więc wielomian Q(x) jest również drugiego. Ma on postać:
\(\displaystyle{ Q(x)=cx^2+dx+e}\)

Od razu widać, że:
\(\displaystyle{ c = 1}\)

Co dalej? Jak to rozwinę to mam równania z kilkoma niewiadomymi:
\(\displaystyle{ Q(x)*P(x)}\)

Jakbym miał b pierwotnie, to miałbym od razu e czyli szukałbym d.
Proszę o jakieś wskazówki.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 13 lis 2011, o 13:12

Np podzielić wielomiany, reszta ma być wielomianem zerowym.

eiliat · Post autor: **eiliat** » 13 lis 2011, o 13:14

Ale dzielenie to jeden ze sposobów, który będzie o wiele dłuższy i ze zwiększonym prawdopodobieństwem na błąd.

A w ten sposób jak ja rozpisałem nie da rady? Pewnie brakuje mi jakieś malutkiej cząstki

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 13 lis 2011, o 13:17

\(\displaystyle{ x^{4}-3x^{3}+3x^{2}-ax+2=\left( x^{2}-3x+b\right) \left( cx^{2}+dx+e\right)}\)

Po wymnożeniu i uporządkowaniu powinieneś otrzymać:
\(\displaystyle{ x^{4}-3x^{3}+3x^{2}-ax+2=cx^{4}+\left( d-3c\right) x^{3}+\left( bc-3d+e\right) x^{2}+\left( bd-3e\right) x+be}\)

Przyrównując otrzymasz układ pięciu równań z pięcioma niewiadomymi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} c=1 \\ d-3c=-3 \\ bc-3d+e=3 \\ bd-3e=-a \\ be=2\end{cases}}\)

Poradzisz sobie teraz?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 13 lis 2011, o 13:19

Dlatego napisałem ,,np".

A jest to sposób ,,naturalny", jak w każdym można się pomylić - ale istnieją sposoby sprawdzania poprawności otrzymanego wyniku.

Z Twojego też raczej (bo bardzo się nie wpatrywałem) wyjdzie - no ale pracochłonność i ta ilość niewiadomych zdecydowanie mnie odstrasza.

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 13 lis 2011, o 13:22

Wbrew pozorom ten układ da się błyskawicznie rozwiązać.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 13 lis 2011, o 13:23

Ale najpierw musiałaś go uzyskać.

Ps. Dzielenie idzie od razu.

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 13 lis 2011, o 13:25

No ale wymnożenie i uporządkowanie też nie jest jakoś strasznie pracochłonne. Można i dzieleniem. Wybór metody należy do eiliata.

eiliat · Post autor: **eiliat** » 13 lis 2011, o 13:27

Zrobiłem tak jak mmoonniiaa i wyszły mi dwa rozwiązania:
\(\displaystyle{ a = 6}\)
\(\displaystyle{ b = 1}\)
lub
\(\displaystyle{ a = 3}\)
\(\displaystyle{ b = 2}\)

Wyszło mi identycznie, tylko tak jak pisałem od razu przyrównałem c =1, później wychodzi d = 0. Po skróceniu zostaje:
\(\displaystyle{ -a = -3e}\)
\(\displaystyle{ e + b = 3}\)
\(\displaystyle{ be = 2}\)

Dzięki bardzo. Zamiast próbować rozpisać, załamałem się ilością niewiadomych

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 13 lis 2011, o 13:32

Jeszcze \(\displaystyle{ e=2}\) lub \(\displaystyle{ e=1}\).

eiliat · Post autor: **eiliat** » 13 lis 2011, o 13:44

No tak ale to i oczywiste i w zadaniu pytają o A i B.
Dzięki