Pierwiastek wielomianu

[Hołek]

oj joj joj, przepraszam...

Udowodnij, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ x ^{3}ax+b}\) ma pierwiastek podwójny, to \(\displaystyle{ 4a ^{3}+27b ^{2}=0}\)
Dzięki

[kamil13151]

Hołek, brakuje czegoś lub źle przepisane.

[Psiaczek]

Hołek, brakuje czegoś lub źle przepisane.

prawidłowa treść :


jeśli wielomian \(\displaystyle{ x^3+ax+b=0}\) ma pierwiastek podwójny to \(\displaystyle{ 4a^3+27b^2=0}\)

dowód przy użyciu faktu że pochodna się zeruje (bo nie chce mi się bawić wzorami Viete'a i wyróżnikiem równania 3 stopnia, są tu lepsi spece od tego )

przypuśćmy że \(\displaystyle{ x _{0}}\) jest pierwiastkiem podwójnym tego wielomianu, wtedy jest spełniony układ równań


\(\displaystyle{ x _{0}^3+ax _{0}+b=0,3x _{0}^2+a=0}\)

przekształcamy pierwsze równanie korzystając z drugiego :

\(\displaystyle{ x _{0}^3+ax _{0}+b=x _{0}(x _{0} ^2+a)+b=x _{0}((3x _{0} ^2+a)-2x _{0}^2 )+b=-2x _{0}^3+b=0}\)

czyli z pierwszego \(\displaystyle{ b=2x _{0}^3}\) a z drugiego \(\displaystyle{ a=-3x _{0}^2}\)

podnosimy pierwsze do kwadratu stronami, drugie do sześcianu:

\(\displaystyle{ b^2=4x _{0}^6,a^3=-27x _{0}^6}\)

mnożymy pierwsze przez \(\displaystyle{ 27}\), drugie przez \(\displaystyle{ 4}\) dodajemy stronami i mamy tezę