oj joj joj, przepraszam...
Udowodnij, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ x ^{3}ax+b}\) ma pierwiastek podwójny, to \(\displaystyle{ 4a ^{3}+27b ^{2}=0}\)
Dzięki
Pierwiastek wielomianu
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Pierwiastek wielomianu
prawidłowa treść :kamil13151 pisze:Hołek, brakuje czegoś lub źle przepisane.
jeśli wielomian \(\displaystyle{ x^3+ax+b=0}\) ma pierwiastek podwójny to \(\displaystyle{ 4a^3+27b^2=0}\)
dowód przy użyciu faktu że pochodna się zeruje (bo nie chce mi się bawić wzorami Viete'a i wyróżnikiem równania 3 stopnia, są tu lepsi spece od tego )
przypuśćmy że \(\displaystyle{ x _{0}}\) jest pierwiastkiem podwójnym tego wielomianu, wtedy jest spełniony układ równań
\(\displaystyle{ x _{0}^3+ax _{0}+b=0,3x _{0}^2+a=0}\)
przekształcamy pierwsze równanie korzystając z drugiego :
\(\displaystyle{ x _{0}^3+ax _{0}+b=x _{0}(x _{0} ^2+a)+b=x _{0}((3x _{0} ^2+a)-2x _{0}^2 )+b=-2x _{0}^3+b=0}\)
czyli z pierwszego \(\displaystyle{ b=2x _{0}^3}\) a z drugiego \(\displaystyle{ a=-3x _{0}^2}\)
podnosimy pierwsze do kwadratu stronami, drugie do sześcianu:
\(\displaystyle{ b^2=4x _{0}^6,a^3=-27x _{0}^6}\)
mnożymy pierwsze przez \(\displaystyle{ 27}\), drugie przez \(\displaystyle{ 4}\) dodajemy stronami i mamy tezę