oto równanie
\(\displaystyle{ x^{4}-5x^{3}+6x^{2}-5x+1=0}\)
Rozwiąż równanie
-
kamil13151
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Rozwiąż równanie
Metoda Ferrariego lub \(\displaystyle{ (x^2+bx+1)(x^2+cx+1)}\) i przyrównujesz odpowiednie współczynniki.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozwiąż równanie
Można podzielić przez \(\displaystyle{ x^2}\) i podstawić \(\displaystyle{ t=x+ \frac{1}{x}}\)
kamil13151, w rozkładzie na czynniki kwadratowe w wyrazie wolnym nie muszą być jedynki
Czynniki kwadratowe nie muszą mieć całkowitych współczynników
nawet jeśli rozkładany wielomian miał całkowite współczynniki
(W tym przypadku tak jest ale można podać przykład wielomianu w którym tak
nie będzie)
Rozkład na czynniki kwadratowe wyglądałby tak
\(\displaystyle{ x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0\\
x^4-5x^3+ \frac{25}{4}x^2-\left( \frac{1}{4}x^2+5x-1 \right)=0\\
\left( x^2- \frac{5}{2}x \right)^2-\left( \frac{1}{4}x^2+5x-1 \right)=0\\
\left( x^2- \frac{5}{2}x+ \frac{y}{2} \right)^2-\left( \left( y+ \frac{1}{4} \right) x^2+\left( - \frac{5}{2}y+5 \right) x+ \frac{y^2}{4} -1 \right)=0\\
\left( - \frac{5}{2}y+5 \right)^2-\left( y^2-4\right)\left( y+ \frac{1}{4} \right)=0\\
\left( y^3+ \frac{1}{4}y^2-4y-1 \right)-\left( \frac{25}{4}x^2-25x+25 \right)=0\\
y^3-6y^2+21x-26=0\\
8-24+42-26=50-50=0\\
y=2\\
\left( x^2- \frac{5}{2}x+ 1 \right)^2- \frac{9}{4} x^2=0\\
\left(x^2-4x+1 \right)\left( x^2-x+1\right)=0}\)
kamil13151, w rozkładzie na czynniki kwadratowe w wyrazie wolnym nie muszą być jedynki
Czynniki kwadratowe nie muszą mieć całkowitych współczynników
nawet jeśli rozkładany wielomian miał całkowite współczynniki
(W tym przypadku tak jest ale można podać przykład wielomianu w którym tak
nie będzie)
Rozkład na czynniki kwadratowe wyglądałby tak
\(\displaystyle{ x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0\\
x^4-5x^3+ \frac{25}{4}x^2-\left( \frac{1}{4}x^2+5x-1 \right)=0\\
\left( x^2- \frac{5}{2}x \right)^2-\left( \frac{1}{4}x^2+5x-1 \right)=0\\
\left( x^2- \frac{5}{2}x+ \frac{y}{2} \right)^2-\left( \left( y+ \frac{1}{4} \right) x^2+\left( - \frac{5}{2}y+5 \right) x+ \frac{y^2}{4} -1 \right)=0\\
\left( - \frac{5}{2}y+5 \right)^2-\left( y^2-4\right)\left( y+ \frac{1}{4} \right)=0\\
\left( y^3+ \frac{1}{4}y^2-4y-1 \right)-\left( \frac{25}{4}x^2-25x+25 \right)=0\\
y^3-6y^2+21x-26=0\\
8-24+42-26=50-50=0\\
y=2\\
\left( x^2- \frac{5}{2}x+ 1 \right)^2- \frac{9}{4} x^2=0\\
\left(x^2-4x+1 \right)\left( x^2-x+1\right)=0}\)
Ostatnio zmieniony 10 lis 2011, o 23:03 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 2 razy.
-
Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ x^{4}-5x^{3}+6x^{2}-5x+1=0}\)
Zauważamy że \(\displaystyle{ 0}\) nie jest pierwiastkiem, dzielimy przez \(\displaystyle{ x^2}\)nie gubiąc pierwiastków:
\(\displaystyle{ x^2-5x+6- \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}=0}\)
\(\displaystyle{ (x^2+ \frac{1}{x^2})-5(x+ \frac{1}{x})+6=0}\)
niewiadoma pomocnicza \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x}=t}\) wtedy \(\displaystyle{ x^2+ \frac{1}{x^2}=t^2-2}\)
\(\displaystyle{ t^2-2-5t+6=0,t^2-5t+4=0,(t-1)(t-4)=0,t=1 \vee t=4}\)
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x}=1 \vee x+ \frac{1}{x}=4}\)
nie ma iksów rzeczywistych spełniających pierwszą część alternatywy, a z drugiej \(\displaystyle{ x=2- \sqrt{3} \vee x=2+ \sqrt{3}}\)
Zauważamy że \(\displaystyle{ 0}\) nie jest pierwiastkiem, dzielimy przez \(\displaystyle{ x^2}\)nie gubiąc pierwiastków:
\(\displaystyle{ x^2-5x+6- \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}=0}\)
\(\displaystyle{ (x^2+ \frac{1}{x^2})-5(x+ \frac{1}{x})+6=0}\)
niewiadoma pomocnicza \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x}=t}\) wtedy \(\displaystyle{ x^2+ \frac{1}{x^2}=t^2-2}\)
\(\displaystyle{ t^2-2-5t+6=0,t^2-5t+4=0,(t-1)(t-4)=0,t=1 \vee t=4}\)
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x}=1 \vee x+ \frac{1}{x}=4}\)
nie ma iksów rzeczywistych spełniających pierwszą część alternatywy, a z drugiej \(\displaystyle{ x=2- \sqrt{3} \vee x=2+ \sqrt{3}}\)