Dzielenie wielomianów i nierówność

[mati24568]

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} +4x ^{3} + ax ^{2} +bx + 8}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x ^{2} +x - 2}\). Wyznacz \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) oraz rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ W(x) \le 0}\)

[loitzl9006]

Wykonaj dzielenie pisemne wielomianów. Nie zwracaj uwagi na ewentualną resztę z dzielenia. Otrzymany wynik z dzielenia wielomianów pomnóż przez \(\displaystyle{ x ^{2} +x - 2}\) . Teraz powymnażaj każdy wyraz z każdym. Otrzymasz coś, co ma się równać tyle, co \(\displaystyle{ x ^{4} +4x ^{3} + ax ^{2} +bx + 8}\) .
Teraz porównaj współczynniki przy odpowiadających potęgach wielomianów po lewej i prawej stronie równania i z tego wyliczysz szukane \(\displaystyle{ a,b}\) .

[Psiaczek]

\(\displaystyle{ x^2+x-2=(x-1)(x+2)}\) czyli będzie zachodziło \(\displaystyle{ W(1)=0,W(-2)=0}\)

to prowadzi do układu równań \(\displaystyle{ a+b=-13,4a-2b=8}\) stąd \(\displaystyle{ a=-3,b=-10}\)

następnie dzieląc dochodzimy do rozkładu

\(\displaystyle{ x^4+4x^3-3x^2-10x+8=(x-1)(x+2)(x+4)(x-1)=(x+4)(x+2)(x-1)^2}\)

dalej już samemu, pamietając o "odbiciu" w podwójnym pierwiastku