Sposoby rozwiązywania równań symetrycznych

[Aranjuez]

Pilnie potrzebuję metody na obliczanie równań symetrycznych (to jest takich, w których indeksy są symetryczne), na przykład:

x6 - 12x5 + 50x4 - 84x3 + 50x2 - 12x1 + 1 = 0

[Zlodiej]

I nie tylko indexy, ale również współczynniki stojące przy niewiadomej są symertyczne...

Przeglądałem słownik matematyczny i znalazłem punkt: równania symetryczne. Przy okazji przypomniałem sobie, że taki temat istnieje.

Nie ma specjalnych schematów pozwalających rozwiązać każde równanie symetryczne. Znalazłem tam tylko pomocne wskazówki dotyczące równań coniektórych stopni.

Dla równania symetrycznego stopnia nieparzystego, zawsze jednym z pierwiastków jest liczba -1. Przydatne jest to zwłaszcza dla równania stopnia trzeciego, bowiem mając jeden pierwiastek, możemy przekształcić to równanie na iloczyn równania pierwszego i drugiego stopnia.

Dla równań stopnia czwartego, wystarczy za \(\displaystyle{ x+\frac{1}{x}}\) podstawić y i rozwiązać równanie kwadratowe z niewiadomą y.

Tyle tylko znalazłem.

[Tomasz Rużycki]

Wszystkie rozwiązuje się podobnie:) W tym wypadku podziel sobie obustronnie przez \(\displaystyle{ x^3}\) (możemy sprawdzić, że 0 nie jest pierwiastkiem =) ). Potem juz tylko przekształcenia...

\(\displaystyle{ \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}\)
\(\displaystyle{ \left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)=\left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\frac{1}{x}\right)}\)

Dalej już z górki:)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[Rogal]

Na to również znajdzie się rada, jak na upierdliwego owada .

Na początek zauważmy następujące tożsamości przydatne w późniejszym przekształcaniu:

\(\displaystyle{ (x+\frac{1}{x})^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2 \\ (x+\frac{1}{x})^{3}=x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3(x+\frac{1}{x})}\)

Teraz przekształcamy nasze równanko, zauważając, że 0 nie jest pierwiastkiem naszego wielomianu:

\(\displaystyle{ x^{6}-12x^{5}+50x^{4}-84x^{3}+50x^{2}-12x+1=0 \ /: x^{3} \\ x^{3}-12x^{2}+50x-84+50\frac{1}{x}-12\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}\)
Pogrupuj sobie wyrazy:
\(\displaystyle{ x^{3}+\frac{1}{x^{3}}-12(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})+50(x+\frac{1}{x})-84=0}\)
A następnie skorzystaj z wzorów u góry