Kilka zadań z Kiełbasy.
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 3 wrz 2011, o 23:10
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: komputer
- Podziękował: 4 razy
Kilka zadań z Kiełbasy.
Robiłam zadania z tego działu i mam kilka pytań.
Zad 1
Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)= 2x^3+x+1}\).
a) Uzasadnij że wielomian W(x) nie ma dodatnich pierwiastków.
b) Uzasadnij że wielomian W(x) nie ma pierwiastków wymiernych.
c) Tw. Każdy niezerowy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu wielomianu co najwyżej stopnia drugiego.
Korzystając z podanego twierdzenia uzasadnij, że wielomian W(x) ma co najmniej jeden pierwiastek.
Jedyne co przychodzi mi na myśl to do b, że W od \(\displaystyle{ 1, -1, \frac{1}{2} , - \frac{1}{2}}\) jest różne od zera, więc nie ma wymiernych pierwiastków. Nie wiem jak go rozłożyć.
Zad 2
Uzasadnij, że równanie \(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)=2009^3}\) nie ma pierwiastków całkowitych.
Zad 3
Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność \(\displaystyle{ x^{4}+2x^2 + 26> 2x^3+10x}\).
Zad 4
Udowodnij, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3+px+q}\) ma trzy różne pierwiastki to p jest liczbą ujemną.
Dzięki za pomoc
Zad 1
Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)= 2x^3+x+1}\).
a) Uzasadnij że wielomian W(x) nie ma dodatnich pierwiastków.
b) Uzasadnij że wielomian W(x) nie ma pierwiastków wymiernych.
c) Tw. Każdy niezerowy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu wielomianu co najwyżej stopnia drugiego.
Korzystając z podanego twierdzenia uzasadnij, że wielomian W(x) ma co najmniej jeden pierwiastek.
Jedyne co przychodzi mi na myśl to do b, że W od \(\displaystyle{ 1, -1, \frac{1}{2} , - \frac{1}{2}}\) jest różne od zera, więc nie ma wymiernych pierwiastków. Nie wiem jak go rozłożyć.
Zad 2
Uzasadnij, że równanie \(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)=2009^3}\) nie ma pierwiastków całkowitych.
Zad 3
Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność \(\displaystyle{ x^{4}+2x^2 + 26> 2x^3+10x}\).
Zad 4
Udowodnij, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3+px+q}\) ma trzy różne pierwiastki to p jest liczbą ujemną.
Dzięki za pomoc
-
- Użytkownik
- Posty: 548
- Rejestracja: 16 cze 2010, o 18:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 96 razy
Kilka zadań z Kiełbasy.
Na zachętę.
Zad. 1)
\(\displaystyle{ x > 0 \Rightarrow 2x^3+x > 0 \Rightarrow 2x^3+x + 1> 0}\) i to uzasadnia, że równanie nie może mieć dodatnich pierwiastków.
b) twierdzenie o wymiernych pierwiastkach równania. Skoro nie ma pierwiastków dodatnich to wystarczy sprawdzić tylko możliwe ujemne, czyli: \(\displaystyle{ -1, -0.5}\).
c) Na podstawie zacytowanego twierdzenia wystarczy powiedzieć, że należy go rozłożyć na iloczyn wielomianów stopnia 1 i 2. Nie musisz go rozkładać. Skoro w rozkładzie wystąpi wielomian stopnia 1, to równanie musi mieć co najmniej 1 rozw., bo każdy wielomian stopnia 1 przynajmniej raz się zeruje.
Do pozostałych musisz przedstawić swoje próby, tak jak to uczyniłeś z zad. 1. Wtedy pomożemy.
Zad. 1)
\(\displaystyle{ x > 0 \Rightarrow 2x^3+x > 0 \Rightarrow 2x^3+x + 1> 0}\) i to uzasadnia, że równanie nie może mieć dodatnich pierwiastków.
b) twierdzenie o wymiernych pierwiastkach równania. Skoro nie ma pierwiastków dodatnich to wystarczy sprawdzić tylko możliwe ujemne, czyli: \(\displaystyle{ -1, -0.5}\).
c) Na podstawie zacytowanego twierdzenia wystarczy powiedzieć, że należy go rozłożyć na iloczyn wielomianów stopnia 1 i 2. Nie musisz go rozkładać. Skoro w rozkładzie wystąpi wielomian stopnia 1, to równanie musi mieć co najmniej 1 rozw., bo każdy wielomian stopnia 1 przynajmniej raz się zeruje.
Do pozostałych musisz przedstawić swoje próby, tak jak to uczyniłeś z zad. 1. Wtedy pomożemy.
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Kilka zadań z Kiełbasy.
czy w czwartym wolno używać pochodnych?
drugie na zachęte - \(\displaystyle{ 2009}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\) więc trzecia potęga też się nie dzieli.
Natomiast gdy \(\displaystyle{ x}\) jest całkowite to \(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\) jako że wśród trzech kolejnych liczb całkowitych zawsze się jedna dzieli.
drugie na zachęte - \(\displaystyle{ 2009}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\) więc trzecia potęga też się nie dzieli.
Natomiast gdy \(\displaystyle{ x}\) jest całkowite to \(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\) jako że wśród trzech kolejnych liczb całkowitych zawsze się jedna dzieli.
Ostatnio zmieniony 8 lis 2011, o 17:40 przez Psiaczek, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 3 wrz 2011, o 23:10
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: komputer
- Podziękował: 4 razy
Kilka zadań z Kiełbasy.
a) przykładu dalej nie rozumiem.
c) tak, ale jednak wolałabym go rozłożyć, wogóle jak się rozkłada wielomiany w tej postaci. Nic się nie zgrupuje W(\(\displaystyle{ 1,-1, 0.5, -0.5}\)) nie równa się zero.
Zad 2.
Dzięki, bo inaczej bym przemnażała nawiasy.
Zad 3
Nie wychodzi mi rozłożenie tego na czynniki. Podejrzewam że wyjdą dwa nawiasy z \(\displaystyle{ x^2}\) i każdy z deltą <0.
Zad 4
Pochodne mieliśmy, więc tak.
c) tak, ale jednak wolałabym go rozłożyć, wogóle jak się rozkłada wielomiany w tej postaci. Nic się nie zgrupuje W(\(\displaystyle{ 1,-1, 0.5, -0.5}\)) nie równa się zero.
Zad 2.
Dzięki, bo inaczej bym przemnażała nawiasy.
Zad 3
Nie wychodzi mi rozłożenie tego na czynniki. Podejrzewam że wyjdą dwa nawiasy z \(\displaystyle{ x^2}\) i każdy z deltą <0.
Zad 4
Pochodne mieliśmy, więc tak.
-
- Użytkownik
- Posty: 548
- Rejestracja: 16 cze 2010, o 18:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 96 razy
Kilka zadań z Kiełbasy.
4) można rozpisać na postać iloczynową, skoro ma 3 różne pierwiastki i porównać współczynniki przy odpowiednich potęgach. Ale z pochodnych wychodzi od razu. Funkcja 3 stopnia musi mieć 2 ekstrema, aby mogła mieć 3 miejsca zerowe.
1a) zrobiłem dowód nie przykład. Przeanalizuj rozpisaną przeze mnie implikację... Co się dzieje ze składnikami wielomianu jak \(\displaystyle{ x}\) jest dodatnie? Jakie są ich znaki? Jaki znak ma suma trzech liczb dodatnich?
1a) zrobiłem dowód nie przykład. Przeanalizuj rozpisaną przeze mnie implikację... Co się dzieje ze składnikami wielomianu jak \(\displaystyle{ x}\) jest dodatnie? Jakie są ich znaki? Jaki znak ma suma trzech liczb dodatnich?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Kilka zadań z Kiełbasy.
Trzecie na zachętę: \(\displaystyle{ x^{4}+2x^2 + 26- 2x^3-10x= (x^4-2x^3+x^2)+(x^2-10x+25)+1}\). Mogłoby być \(\displaystyle{ 25}\) zamiast \(\displaystyle{ 26}\), to by było ciekawiej.
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 3 wrz 2011, o 23:10
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: komputer
- Podziękował: 4 razy
Kilka zadań z Kiełbasy.
3) Dzięki. Zwija się do wzoru skróconego mnożenia i zawsze jest większe od zera.
2) Jeszcze mam pytanie wystarczy że napiszę \(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), natomiast \(\displaystyle{ 2009}\) nie. I to jest już rozwiązane zadanie, skąd wiem że to nie ma pierwiastków całkowitych?
2) Jeszcze mam pytanie wystarczy że napiszę \(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), natomiast \(\displaystyle{ 2009}\) nie. I to jest już rozwiązane zadanie, skąd wiem że to nie ma pierwiastków całkowitych?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Kilka zadań z Kiełbasy.
Formalnie chodzi tu o dowód niewprost. Zamiast podzielności przez \(\displaystyle{ 3}\) równie dobrze można rozważać przez \(\displaystyle{ 2}\).nazwa-uzytkownika pisze: 2) Jeszcze mam pytanie wystarczy że napiszę \(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), natomiast \(\displaystyle{ 2009}\) nie. I to jest już rozwiązane zadanie, skąd wiem że to nie ma pierwiastków całkowitych?
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 3 wrz 2011, o 23:10
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: komputer
- Podziękował: 4 razy
Kilka zadań z Kiełbasy.
4) pochodna: \(\displaystyle{ 3x^2+p}\)
\(\displaystyle{ 3x^2+p=0}\)
\(\displaystyle{ 3x^2=-p}\) <- p musi być ujemne, bo inaczej nie będzie istniał pierwiastek i nie pochodnia nie będzie miała miejsce zerowych.
Jak to zrobić tym drugim sposobem?
1) Jak rozłożyć ten wielomian?
\(\displaystyle{ 3x^2+p=0}\)
\(\displaystyle{ 3x^2=-p}\) <- p musi być ujemne, bo inaczej nie będzie istniał pierwiastek i nie pochodnia nie będzie miała miejsce zerowych.
Jak to zrobić tym drugim sposobem?
1) Jak rozłożyć ten wielomian?
Ostatnio zmieniony 8 lis 2011, o 18:16 przez nazwa-uzytkownika, łącznie zmieniany 1 raz.
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Kilka zadań z Kiełbasy.
Ja to może jestem przewrażliwiony , ale się wciąż zastanawiam jak to czwarte ładnie zrobić na poziomie liceum bez rozważań co się dzieje gdy pochodna wszędzie dodatnia a w jednym punkcie zero itp.
Może przeciwstawne dowodzić z podziałem na przypadki, jeżeli \(\displaystyle{ p > 0}\) i \(\displaystyle{ W'(x)=3x^2+p}\), to
wiemy że pochodna wszędzie jest dodatnia, czyli funkcja rosnąca , więc co najwyżej jeden pierwiastek, trzech różnych być nie może.
a jeśli \(\displaystyle{ p=0}\) to równanie\(\displaystyle{ x^3+q=0}\) też trzech różnych pierwiastków mieć nie może, bo rzeczywisty pierwiastek trzeciego stopnia jest tylko jeden.
Może przeciwstawne dowodzić z podziałem na przypadki, jeżeli \(\displaystyle{ p > 0}\) i \(\displaystyle{ W'(x)=3x^2+p}\), to
wiemy że pochodna wszędzie jest dodatnia, czyli funkcja rosnąca , więc co najwyżej jeden pierwiastek, trzech różnych być nie może.
a jeśli \(\displaystyle{ p=0}\) to równanie\(\displaystyle{ x^3+q=0}\) też trzech różnych pierwiastków mieć nie może, bo rzeczywisty pierwiastek trzeciego stopnia jest tylko jeden.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Kilka zadań z Kiełbasy.
Jeśli ten punkt nazwiemy \(\displaystyle{ a}\), to funkcja jest rosnąca na przedziale \(\displaystyle{ (-\infty,a\rangle}\) oraz na \(\displaystyle{ \langle a, +\infty)}\), więc jest rosnąca w całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Jedyny problem to to, że pewnie większość nauczycieli nie wspomina o tym, co się dzieje na końcu przedziału, gdy pochodna jest dodatnia w przedziale otwartym.Psiaczek pisze:Ja to może jestem przewrażliwiony , ale się wciąż zastanawiam jak to czwarte ładnie zrobić na poziomie liceum bez rozważań co się dzieje gdy pochodna wszędzie dodatnia a w jednym punkcie zero itp.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Kilka zadań z Kiełbasy.
Rozważ równe wielomiany \(\displaystyle{ (x-a)(x-b)(x-c)=x^3+px+q}\).Ja to może jestem przewrażliwiony , ale się wciąż zastanawiam jak to czwarte ładnie zrobić na poziomie liceum bez rozważań co się dzieje gdy pochodna wszędzie dodatnia a w jednym punkcie zero itp.
4. Rozwiązanie: