Kilka zadań z Kiełbasy.

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
nazwa-uzytkownika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 3 wrz 2011, o 23:10
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: komputer
Podziękował: 4 razy

Kilka zadań z Kiełbasy.

Post autor: nazwa-uzytkownika »

Robiłam zadania z tego działu i mam kilka pytań.
Zad 1
Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)= 2x^3+x+1}\).
a) Uzasadnij że wielomian W(x) nie ma dodatnich pierwiastków.
b) Uzasadnij że wielomian W(x) nie ma pierwiastków wymiernych.
c) Tw. Każdy niezerowy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu wielomianu co najwyżej stopnia drugiego.
Korzystając z podanego twierdzenia uzasadnij, że wielomian W(x) ma co najmniej jeden pierwiastek.

Jedyne co przychodzi mi na myśl to do b, że W od \(\displaystyle{ 1, -1, \frac{1}{2} , - \frac{1}{2}}\) jest różne od zera, więc nie ma wymiernych pierwiastków. Nie wiem jak go rozłożyć.

Zad 2
Uzasadnij, że równanie \(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)=2009^3}\) nie ma pierwiastków całkowitych.

Zad 3
Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność \(\displaystyle{ x^{4}+2x^2 + 26> 2x^3+10x}\).

Zad 4
Udowodnij, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3+px+q}\) ma trzy różne pierwiastki to p jest liczbą ujemną.

Dzięki za pomoc
chlorofil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 548
Rejestracja: 16 cze 2010, o 18:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 96 razy

Kilka zadań z Kiełbasy.

Post autor: chlorofil »

Na zachętę.

Zad. 1)
\(\displaystyle{ x > 0 \Rightarrow 2x^3+x > 0 \Rightarrow 2x^3+x + 1> 0}\) i to uzasadnia, że równanie nie może mieć dodatnich pierwiastków.
b) twierdzenie o wymiernych pierwiastkach równania. Skoro nie ma pierwiastków dodatnich to wystarczy sprawdzić tylko możliwe ujemne, czyli: \(\displaystyle{ -1, -0.5}\).
c) Na podstawie zacytowanego twierdzenia wystarczy powiedzieć, że należy go rozłożyć na iloczyn wielomianów stopnia 1 i 2. Nie musisz go rozkładać. Skoro w rozkładzie wystąpi wielomian stopnia 1, to równanie musi mieć co najmniej 1 rozw., bo każdy wielomian stopnia 1 przynajmniej raz się zeruje.

Do pozostałych musisz przedstawić swoje próby, tak jak to uczyniłeś z zad. 1. Wtedy pomożemy.
Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 475 razy

Kilka zadań z Kiełbasy.

Post autor: Psiaczek »

czy w czwartym wolno używać pochodnych?

drugie na zachęte - \(\displaystyle{ 2009}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\) więc trzecia potęga też się nie dzieli.

Natomiast gdy \(\displaystyle{ x}\) jest całkowite to \(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\) jako że wśród trzech kolejnych liczb całkowitych zawsze się jedna dzieli.
Ostatnio zmieniony 8 lis 2011, o 17:40 przez Psiaczek, łącznie zmieniany 1 raz.
nazwa-uzytkownika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 3 wrz 2011, o 23:10
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: komputer
Podziękował: 4 razy

Kilka zadań z Kiełbasy.

Post autor: nazwa-uzytkownika »

a) przykładu dalej nie rozumiem.
c) tak, ale jednak wolałabym go rozłożyć, wogóle jak się rozkłada wielomiany w tej postaci. Nic się nie zgrupuje W(\(\displaystyle{ 1,-1, 0.5, -0.5}\)) nie równa się zero.
Zad 2.
Dzięki, bo inaczej bym przemnażała nawiasy.
Zad 3
Nie wychodzi mi rozłożenie tego na czynniki. Podejrzewam że wyjdą dwa nawiasy z \(\displaystyle{ x^2}\) i każdy z deltą <0.
Zad 4
Pochodne mieliśmy, więc tak.
chlorofil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 548
Rejestracja: 16 cze 2010, o 18:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 96 razy

Kilka zadań z Kiełbasy.

Post autor: chlorofil »

4) można rozpisać na postać iloczynową, skoro ma 3 różne pierwiastki i porównać współczynniki przy odpowiednich potęgach. Ale z pochodnych wychodzi od razu. Funkcja 3 stopnia musi mieć 2 ekstrema, aby mogła mieć 3 miejsca zerowe.

1a) zrobiłem dowód nie przykład. Przeanalizuj rozpisaną przeze mnie implikację... Co się dzieje ze składnikami wielomianu jak \(\displaystyle{ x}\) jest dodatnie? Jakie są ich znaki? Jaki znak ma suma trzech liczb dodatnich?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Kilka zadań z Kiełbasy.

Post autor: norwimaj »

Trzecie na zachętę: \(\displaystyle{ x^{4}+2x^2 + 26- 2x^3-10x= (x^4-2x^3+x^2)+(x^2-10x+25)+1}\). Mogłoby być \(\displaystyle{ 25}\) zamiast \(\displaystyle{ 26}\), to by było ciekawiej.
nazwa-uzytkownika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 3 wrz 2011, o 23:10
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: komputer
Podziękował: 4 razy

Kilka zadań z Kiełbasy.

Post autor: nazwa-uzytkownika »

3) Dzięki. Zwija się do wzoru skróconego mnożenia i zawsze jest większe od zera.
2) Jeszcze mam pytanie wystarczy że napiszę \(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), natomiast \(\displaystyle{ 2009}\) nie. I to jest już rozwiązane zadanie, skąd wiem że to nie ma pierwiastków całkowitych?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Kilka zadań z Kiełbasy.

Post autor: norwimaj »

nazwa-uzytkownika pisze: 2) Jeszcze mam pytanie wystarczy że napiszę \(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), natomiast \(\displaystyle{ 2009}\) nie. I to jest już rozwiązane zadanie, skąd wiem że to nie ma pierwiastków całkowitych?
Formalnie chodzi tu o dowód niewprost. Zamiast podzielności przez \(\displaystyle{ 3}\) równie dobrze można rozważać przez \(\displaystyle{ 2}\).
nazwa-uzytkownika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 3 wrz 2011, o 23:10
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: komputer
Podziękował: 4 razy

Kilka zadań z Kiełbasy.

Post autor: nazwa-uzytkownika »

4) pochodna: \(\displaystyle{ 3x^2+p}\)
\(\displaystyle{ 3x^2+p=0}\)
\(\displaystyle{ 3x^2=-p}\) <- p musi być ujemne, bo inaczej nie będzie istniał pierwiastek i nie pochodnia nie będzie miała miejsce zerowych.
Jak to zrobić tym drugim sposobem?

1) Jak rozłożyć ten wielomian?
Ostatnio zmieniony 8 lis 2011, o 18:16 przez nazwa-uzytkownika, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 475 razy

Kilka zadań z Kiełbasy.

Post autor: Psiaczek »

Ja to może jestem przewrażliwiony , ale się wciąż zastanawiam jak to czwarte ładnie zrobić na poziomie liceum bez rozważań co się dzieje gdy pochodna wszędzie dodatnia a w jednym punkcie zero itp.


Może przeciwstawne dowodzić z podziałem na przypadki, jeżeli \(\displaystyle{ p > 0}\) i \(\displaystyle{ W'(x)=3x^2+p}\), to
wiemy że pochodna wszędzie jest dodatnia, czyli funkcja rosnąca , więc co najwyżej jeden pierwiastek, trzech różnych być nie może.

a jeśli \(\displaystyle{ p=0}\) to równanie\(\displaystyle{ x^3+q=0}\) też trzech różnych pierwiastków mieć nie może, bo rzeczywisty pierwiastek trzeciego stopnia jest tylko jeden.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Kilka zadań z Kiełbasy.

Post autor: norwimaj »

Psiaczek pisze:Ja to może jestem przewrażliwiony , ale się wciąż zastanawiam jak to czwarte ładnie zrobić na poziomie liceum bez rozważań co się dzieje gdy pochodna wszędzie dodatnia a w jednym punkcie zero itp.
Jeśli ten punkt nazwiemy \(\displaystyle{ a}\), to funkcja jest rosnąca na przedziale \(\displaystyle{ (-\infty,a\rangle}\) oraz na \(\displaystyle{ \langle a, +\infty)}\), więc jest rosnąca w całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Jedyny problem to to, że pewnie większość nauczycieli nie wspomina o tym, co się dzieje na końcu przedziału, gdy pochodna jest dodatnia w przedziale otwartym.
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Kilka zadań z Kiełbasy.

Post autor: kamil13151 »

Ja to może jestem przewrażliwiony , ale się wciąż zastanawiam jak to czwarte ładnie zrobić na poziomie liceum bez rozważań co się dzieje gdy pochodna wszędzie dodatnia a w jednym punkcie zero itp.
Rozważ równe wielomiany \(\displaystyle{ (x-a)(x-b)(x-c)=x^3+px+q}\).
4. Rozwiązanie:    
ODPOWIEDZ