Udowodnij nierówność

[kamil13151]

Udowodnij, że zachodzi nierówność \(\displaystyle{ x^{16}-x^{11}+x^6-x+1>0}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\).

Ja już to zrobiłem, tylko mój sposób jest dosyć długi. Proszę o pokazanie wszystkich możliwych sposobów. Wydaje mi się, że ta nierówność była w jakimś konkursie czy ktoś wie w jakim?

[Qń]

Dla iksów ujemnych nierówność jest oczywista.
Dla większych od jedynki też, po przekształceniu:
\(\displaystyle{ x^{11}(x^5-1)+x(x^5-1)+1>0}\)
Dla \(\displaystyle{ x\in [0,1]}\) również jest oczywista po przekształceniu:
\(\displaystyle{ x^{16}+x^6(1-x^5)+1-x>0}\)

Q.

[kamil13151]

Czy moje rozwiązanie jest poprawne:

Dla \(\displaystyle{ x<0}\) oczywiste.

Dla \(\displaystyle{ x \in [0;2]}\).
Rozpatrujemy wielomian: \(\displaystyle{ f(x)=x^{16}-x^{11}+x^6-x+1}\). Mamy \(\displaystyle{ f(0)=1}\) i \(\displaystyle{ f(2)=2^{16}-2^{11}+2^6-1=2^{11}(2^5-1)+2^6-1>0}\), także z własności Darboux wiemy, że w rozpatrywanym przedziale nie znajdzie się niedodatnia wartość.

Dla \(\displaystyle{ x>2}\).

Oczywiste jest, że \(\displaystyle{ x^5>1}\), więc \(\displaystyle{ x^{16}>x^{11}}\) też zachodzi. Również prawdziwe jest \(\displaystyle{ x^6>x}\) jak i \(\displaystyle{ x^6+1>x}\) (wszystko dla \(\displaystyle{ x>2}\)).

Dodając nierówności \(\displaystyle{ x^{16}>x^{11}}\) i \(\displaystyle{ x^6+1>x}\) dostajemy nierówność, którą mamy udowodnić, także jest ona prawdziwa dla \(\displaystyle{ x>2.}\)

cnd.

[Qń]

Ale przecież własność Darboux mówi co innego. Jeśli funkcja ciągła na końcach przedziału ma wartości różnych znaków, to wewnątrz przedziału ma pierwiastek; ale jeśli na końcach przedziału ma wartości tego samego znaku, to nic nie wiemy o tym co dzieje się wewnątrz przedziału.

Na przykład funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x(x-2)+\frac 12}\) ma na końcach przedziału \(\displaystyle{ [0,2]}\) dodatnie wartości, a mimo to ma pierwiastek wewnątrz tego przedziału.

Q.

[kamil13151]

Ehh, masz rację, dziękuje. Znasz jeszcze jakieś sposoby rozwiązania tego zadania?