Ile pierwiastków rzeczywistych ma równanie

[mateusz199314]

Ile pierwiastków rzeczywistych ma równanie;
\(\displaystyle{ x ^{4} -8x ^{2}=a}\)
w zależności od parametru a??

[conseil]

Najpierw rozłóż na:
\(\displaystyle{ x^{4} -8x^{2} = x^{2}(x^{2}-8) = x^{2}(x - 2\sqrt{2}})({x+2 \sqrt{2}})}\)
naszkicuj/rysunek pomocniczy i na podstawie tego domyśl się z parametrem a

[mateusz199314]

a jak wyliczyć punkt graniczny te wierzchołki parabol??

[piasek101]

Bez kombinowania to trzeba nieco przebadać to \(\displaystyle{ f(x)=x^4-8x^2}\) (np parzyste jest)

[Psiaczek]

Można też spróbować rozważań po dodaniu do obu stron równania 16

\(\displaystyle{ x^4-8x^2+16=a+16}\)

\(\displaystyle{ (x^2-4)^2=a+16}\)

od razu widać że dla \(\displaystyle{ a<-16}\) brak pierwiastków rzeczywistych, dla \(\displaystyle{ a=-16}\) mamy dwa pierwiastki itd..