Witam.
Proszę o wskazówkę jaką metodą będzie najłatwiej rozwiązać poniższe równania/o przykładowe ich rozwiązania.
\(\displaystyle{ x^{5} - x - 0.2 = 0}\)
\(\displaystyle{ x = sin x}\)
\(\displaystyle{ x^{3} + x = 1000}\)
\(\displaystyle{ x^3 - x - 1 = 0}\)
PS. Jeśli to zły dział to proszę o przeniesienie.
Pozdrawiam.
Przybliżone rozwiazywanie równań.
-
Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Przybliżone rozwiazywanie równań.
Drugie równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ x=0}\)
Trzecie i czwarte gdybyś się uparł można dokładnie rozwiązać wzorami na pierwiastki równania trzeciego stopnia,
bo te równania mają jeden pierwiastek rzeczywisty, i nie będzie rzeczywisty pierwiastek wówczas wyrażony poprzez liczby zespolone.
A co do metod przybliżonych mogę ci przykładowo pokazać \(\displaystyle{ x^3+x=1000}\)
Widzimy że gdzieś w pobliżu 10 powinien być pierwiastek.
Zapisujemy równanie w postaci \(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{1000-x}}\)
dlaczego akurat tak a nie \(\displaystyle{ x=1000-x^3}\) , chodzi o to żeby proces iteracyjny był zbieżny ( patrz zasada odwzorowań zwężających )
bierzemy teraz \(\displaystyle{ x _{0}=10,x _{n+1}= \sqrt[3]{1000-x _{n} }}\)
zbieżność jest tu bardzo dobra , po pięciu-sześciu iteracjach masz około dziesięciu cyfr dokładnych pierwiastka.
Sa metody przyspieszania takiej zbieżności zreszta gdyby była słabsza.
Trzecie i czwarte gdybyś się uparł można dokładnie rozwiązać wzorami na pierwiastki równania trzeciego stopnia,
bo te równania mają jeden pierwiastek rzeczywisty, i nie będzie rzeczywisty pierwiastek wówczas wyrażony poprzez liczby zespolone.
A co do metod przybliżonych mogę ci przykładowo pokazać \(\displaystyle{ x^3+x=1000}\)
Widzimy że gdzieś w pobliżu 10 powinien być pierwiastek.
Zapisujemy równanie w postaci \(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{1000-x}}\)
dlaczego akurat tak a nie \(\displaystyle{ x=1000-x^3}\) , chodzi o to żeby proces iteracyjny był zbieżny ( patrz zasada odwzorowań zwężających )
bierzemy teraz \(\displaystyle{ x _{0}=10,x _{n+1}= \sqrt[3]{1000-x _{n} }}\)
zbieżność jest tu bardzo dobra , po pięciu-sześciu iteracjach masz około dziesięciu cyfr dokładnych pierwiastka.
Sa metody przyspieszania takiej zbieżności zreszta gdyby była słabsza.
-
miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Przybliżone rozwiazywanie równań.
1.
a) Dla \(\displaystyle{ x}\) bliskich zeru zachodzi: \(\displaystyle{ x^5 \approx 0}\) (czy może raczej \(\displaystyle{ |x^5|\ll|x|}\))
b) Dla \(\displaystyle{ x}\) bliskich \(\displaystyle{ 1}\): \(\displaystyle{ x^5 \approx x}\)
2. Istnieje 1 dokładne rozwiązanie. \(\displaystyle{ x=0}\).
3. Dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ x}\) (dajmy na to \(\displaystyle{ x>8}\)), zachodzi \(\displaystyle{ x^3\gg x}\)
4. Tu nie mam pomysłu.
a) Dla \(\displaystyle{ x}\) bliskich zeru zachodzi: \(\displaystyle{ x^5 \approx 0}\) (czy może raczej \(\displaystyle{ |x^5|\ll|x|}\))
b) Dla \(\displaystyle{ x}\) bliskich \(\displaystyle{ 1}\): \(\displaystyle{ x^5 \approx x}\)
2. Istnieje 1 dokładne rozwiązanie. \(\displaystyle{ x=0}\).
3. Dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ x}\) (dajmy na to \(\displaystyle{ x>8}\)), zachodzi \(\displaystyle{ x^3\gg x}\)
4. Tu nie mam pomysłu.
-
Aviox
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 12:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 2 razy
Przybliżone rozwiazywanie równań.
Dziękuje za pomoc.
Jeśli ktoś ma coś do dodania to proszę o odpowiedź w temacie.
-- 6 lis 2011, o 16:49 --
Czy byłby ktoś tak miły i pomógł w obliczeniu krok po kroku tych równań - nie radzę sobie z tym, nie wiem jak sie za to zabrać? Nie chodzi mi o wynik, tylko sposób dojścia do niego - chciałbym wiedzieć jak to zrobić.
Jeśli ktoś ma coś do dodania to proszę o odpowiedź w temacie.
-- 6 lis 2011, o 16:49 --
Czy byłby ktoś tak miły i pomógł w obliczeniu krok po kroku tych równań - nie radzę sobie z tym, nie wiem jak sie za to zabrać? Nie chodzi mi o wynik, tylko sposób dojścia do niego - chciałbym wiedzieć jak to zrobić.