Wielomian z parametrem i wartością bezwzględną.

[Lolitka]

Wyznacz wartości parametru m, dla których równanie \(\displaystyle{ x^{2} + ( 3 - m^{2} ) \left|x \right| + m ^{2} + m - 2 = 0}\) ma dokładnie trzy rozwiązania.

[Qń]

Podstawienie \(\displaystyle{ |x|=t}\) sprowadza nam równanie do:
\(\displaystyle{ t^{2} + ( 3 - m^{2} ) t + m ^{2} + m - 2 = 0}\)
To jest równanie kwadratowe - jeśli jednym z jego rozwiązań jest zero, a drugie jest dodatnie, to wyjściowe równanie ma trzy rozwiązania (i tylko wtedy).

Q.

[kamil13151]

Zauważamy, że mamy funkcję parzystą. Także wystarczy, że sprawdzisz kiedy dane równanie ma jedno rozwiązanie dla \(\displaystyle{ x>0}\) i dla \(\displaystyle{ x=0}\) musi równość zachodzić.

[Lolitka]

Owszem, ale gdy liczę deltę, to w rezultacie otrzymuję ją równą \(\displaystyle{ m ^{4} - 10 m ^{2} -4m + 17}\). I nie wiem, co dalej z tym zrobić.

[kamil13151]

Zauważ, że skoro zero ma być pierwiastkiem to musi zachodzić \(\displaystyle{ m^2+m-2=0}\), więc pozostaje sprawdzić tylko dwie możliwości \(\displaystyle{ m=1}\) lub \(\displaystyle{ m=-2}\).