Witam
Chciałbym prosić o jakąś wskazówkę jak z założenia \(\displaystyle{ a^5-a^3+a=2}\) udowodnić tezę \(\displaystyle{ a^6>3}\)
Jestem wdzięczny za wszelką pomoc.
Pozdrawiam.
Dowód z wielomianem
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Dowód z wielomianem
\(\displaystyle{ a^5-a^3+a=2 \Leftrightarrow a(a^4-a^2+1) = 2 /\cdot (a^2+1) \Leftrightarrow a(a^6+1) = 2(a^2+1)}\)
Widzimy, że jeżeli \(\displaystyle{ a\le 0}\) to lewa strona jest niedodatnia, czyli \(\displaystyle{ a>0}\) więc:
\(\displaystyle{ a(a^6+1) = 2(a^2+1) /:a \Leftrightarrow a^6+1 = 2(a+\frac{1}{a}) \Leftrightarrow a^6 = 2(a+\frac{1}{a})-1}\)
Sprawdzamy, że \(\displaystyle{ a=1}\) nie spełnia początkowego założenia, dla \(\displaystyle{ a>0 \wedge a\neq 1}\) zachodzi \(\displaystyle{ a+\frac{1}{a} > 2}\) więc:
\(\displaystyle{ a^6 = 2(a+\frac{1}{a})-1 > 2\cdot 2-1 = 3}\) cnd.
Widzimy, że jeżeli \(\displaystyle{ a\le 0}\) to lewa strona jest niedodatnia, czyli \(\displaystyle{ a>0}\) więc:
\(\displaystyle{ a(a^6+1) = 2(a^2+1) /:a \Leftrightarrow a^6+1 = 2(a+\frac{1}{a}) \Leftrightarrow a^6 = 2(a+\frac{1}{a})-1}\)
Sprawdzamy, że \(\displaystyle{ a=1}\) nie spełnia początkowego założenia, dla \(\displaystyle{ a>0 \wedge a\neq 1}\) zachodzi \(\displaystyle{ a+\frac{1}{a} > 2}\) więc:
\(\displaystyle{ a^6 = 2(a+\frac{1}{a})-1 > 2\cdot 2-1 = 3}\) cnd.