Równania - jakim sposobem

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
mk_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 30 paź 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Będzin
Podziękował: 2 razy

Równania - jakim sposobem

Post autor: mk_ »

Jakim sposobem ugryźć te 3 równania:

\(\displaystyle{ x^{5}+3x^{3}+x=0

x^{4}+3x^{3}+4x^{2}+6x+4=0

x^{4}+3x^{3}+4x^{2}+3x+1=0}\)
Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 475 razy

Równania - jakim sposobem

Post autor: Psiaczek »

mk_ pisze:
\(\displaystyle{ x^{4}+3x^{3}+4x^{2}+3x+1=0}\)
zauważamy że zero nie jest pierwiastkiem, więc dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ x^2}\) nie gubiąc pierwiastków.

mamy
\(\displaystyle{ x^2+3x+4+ \frac{3}{x}+ \frac{1}{x^2} =0}\)

\(\displaystyle{ (x^2+ \frac{1}{x^2})+3(x+ \frac{1}{x})+4=0}\)

niewiadoma pomocnicza \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x}=t}\) , wtedy \(\displaystyle{ x^2+ \frac{1}{x^2}=t^2-2}\)

\(\displaystyle{ t^2-2+3t+4=0,t^2+3t+2=0,(t+1)(t+2)=0}\)

\(\displaystyle{ t=-1 \vee t=-2}\)

\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x}=-1 \vee x+ \frac{1}{x}=-2}\)

nie ma iksów rzeczywistych spełniających pierwszy człon alternatywy, a drugi człon spełnia tylko \(\displaystyle{ x=-1}\)


Druga metoda: zauważyć ,że naprzemienna suma współczynników się zeruje, więc minus jeden jest pierwiastkiem, podzielić przez dwumian, zauważyć ,że znów naprzemienna suma zero, znów podzielić i dostać:


\(\displaystyle{ (x+1)(x+1)(x^2+x+1)=0}\)
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Równania - jakim sposobem

Post autor: Mariusz M »

Ad 2.

Tutaj mozna albo grupowaniem albo z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych

\(\displaystyle{ x^4+3x^3+4x^2+6x+4=\left(x+2 \right)\left(x+1 \right)\left(x^2+2 \right)}\)

W przypadku rownania wielomianowego czwartego stopnia zawsze można zapisać
je w postaci iloczynowej stosując metodę Ferrariego
(Tutaj nie powinno być skomplikowanych obliczeń)

Ad 1.

Po wyciągnięciu iksa dostajesz równanie dwukwadratowe i otrzymujesz

\(\displaystyle{ x^5+3x^3+x= \frac{1}{4}x\left( 2x^2+3- \sqrt{5} \right)\left( 2x^2+3+ \sqrt{5} \right)}\)
ODPOWIEDZ