Jakim sposobem ugryźć te 3 równania:
\(\displaystyle{ x^{5}+3x^{3}+x=0
x^{4}+3x^{3}+4x^{2}+6x+4=0
x^{4}+3x^{3}+4x^{2}+3x+1=0}\)
Równania - jakim sposobem
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Równania - jakim sposobem
zauważamy że zero nie jest pierwiastkiem, więc dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ x^2}\) nie gubiąc pierwiastków.mk_ pisze:
\(\displaystyle{ x^{4}+3x^{3}+4x^{2}+3x+1=0}\)
mamy
\(\displaystyle{ x^2+3x+4+ \frac{3}{x}+ \frac{1}{x^2} =0}\)
\(\displaystyle{ (x^2+ \frac{1}{x^2})+3(x+ \frac{1}{x})+4=0}\)
niewiadoma pomocnicza \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x}=t}\) , wtedy \(\displaystyle{ x^2+ \frac{1}{x^2}=t^2-2}\)
\(\displaystyle{ t^2-2+3t+4=0,t^2+3t+2=0,(t+1)(t+2)=0}\)
\(\displaystyle{ t=-1 \vee t=-2}\)
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x}=-1 \vee x+ \frac{1}{x}=-2}\)
nie ma iksów rzeczywistych spełniających pierwszy człon alternatywy, a drugi człon spełnia tylko \(\displaystyle{ x=-1}\)
Druga metoda: zauważyć ,że naprzemienna suma współczynników się zeruje, więc minus jeden jest pierwiastkiem, podzielić przez dwumian, zauważyć ,że znów naprzemienna suma zero, znów podzielić i dostać:
\(\displaystyle{ (x+1)(x+1)(x^2+x+1)=0}\)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równania - jakim sposobem
Ad 2.
Tutaj mozna albo grupowaniem albo z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych
\(\displaystyle{ x^4+3x^3+4x^2+6x+4=\left(x+2 \right)\left(x+1 \right)\left(x^2+2 \right)}\)
W przypadku rownania wielomianowego czwartego stopnia zawsze można zapisać
je w postaci iloczynowej stosując metodę Ferrariego
(Tutaj nie powinno być skomplikowanych obliczeń)
Ad 1.
Po wyciągnięciu iksa dostajesz równanie dwukwadratowe i otrzymujesz
\(\displaystyle{ x^5+3x^3+x= \frac{1}{4}x\left( 2x^2+3- \sqrt{5} \right)\left( 2x^2+3+ \sqrt{5} \right)}\)
Tutaj mozna albo grupowaniem albo z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych
\(\displaystyle{ x^4+3x^3+4x^2+6x+4=\left(x+2 \right)\left(x+1 \right)\left(x^2+2 \right)}\)
W przypadku rownania wielomianowego czwartego stopnia zawsze można zapisać
je w postaci iloczynowej stosując metodę Ferrariego
(Tutaj nie powinno być skomplikowanych obliczeń)
Ad 1.
Po wyciągnięciu iksa dostajesz równanie dwukwadratowe i otrzymujesz
\(\displaystyle{ x^5+3x^3+x= \frac{1}{4}x\left( 2x^2+3- \sqrt{5} \right)\left( 2x^2+3+ \sqrt{5} \right)}\)