Dwa zadania z rozszerzenia

[Semtex4]

1)Funkcja f dana jest wzorem \(\displaystyle{ f(x)=-\sqrt{3}x^{2}-5x-\sqrt{2}+1}\). Uzasadnij, że funkcja f ma dwa ujemne miejsca zerowe.
2)Funkcja f dana jest wzorem \(\displaystyle{ f(x)=-x^{2}+4}\). Jedna ze stycznych do wykresu funkcji f jest nachylona do osi OX pod kątem, którego cosinus jest równy \(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{3}}{2}}\). Wyznacz równanie tej stycznej.

Pierwszego nie umiem zrobić, a w drugim doszedłem do współczynnika kierunkowego stycznej \(\displaystyle{ a=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\).
Proszę o szybką pomoc. Z góry dzięki!

[mat_61]

Wskazówka:

1) Oczywiście można policzyć pierwiastki, albo sprawdzić czy spełnione są warunki (korzystając z wzorów Viete'a):

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta \ge 0\\ x_1 +x_2 <0 \\ x_1 \cdot x_2 >0\end{cases}}\)

2) Prosta i parabola muszą mieć jeden punkt wspólny, czyli układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=- \frac{ \sqrt{3} }{3}x+b \\ y=-x^2+4 \end{cases}}\)

ma mieć jedno rozwiązanie.

[Semtex4]

Dlaczego w drugim są dwa równania, a trzy niewiadome? Jak to wyliczyć?

[mat_61]

b jest parametrem.

Wstaw "y" z pierwszego równania do drugiego. Otrzymasz równanie kwadratowe zmiennej "x" z parametrem "b".

Teraz musisz napisać warunek jaki musi być spełniony aby to równanie miało jedno rozwiązanie. Z tego warunku wyznaczysz wartość parametru "b"