Równanie z parametrem
-
- Użytkownik
- Posty: 111
- Rejestracja: 24 wrz 2009, o 18:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 38 razy
Równanie z parametrem
Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie \(\displaystyle{ mx ^{3}-(9m-3)x ^{2}+(2-m)x=0}\)
ma co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie.
Założyłem warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \ a=0\\a \neq 0\\ \Delta > 0 \\ x _{1}+x _{2}>0 \\x _{1}x _{2}>0\end{cases}}\)
Jeden pierwiastek to 0, widać to już z początku po wyciągnięciu przez nawias.
Po 1 warunku:
\(\displaystyle{ m=0}\) - nie spełnia warunków zadania
\(\displaystyle{ -3x ^{2}-2x=0}\)
Po 2 warunku:
\(\displaystyle{ m \neq 0}\)
Po 3 warunku:
\(\displaystyle{ m\in(-\infty,0,2)\cup(0,5,+\infty)}\)
Po 4 warunku:
\(\displaystyle{ m\in(0, \frac{1}{3})}\)
Po 5 warunku:
\(\displaystyle{ m\in(0,2)}\)
Wynik końcowy to \(\displaystyle{ m\in(-\infty,0,2)\cup(2,+\infty)}\)
Czyli coś jest źle bo się nie zgadza, pewnie źle warunki napisane, czy może mi ktoś to sprawdzić ?
ma co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie.
Założyłem warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \ a=0\\a \neq 0\\ \Delta > 0 \\ x _{1}+x _{2}>0 \\x _{1}x _{2}>0\end{cases}}\)
Jeden pierwiastek to 0, widać to już z początku po wyciągnięciu przez nawias.
Po 1 warunku:
\(\displaystyle{ m=0}\) - nie spełnia warunków zadania
\(\displaystyle{ -3x ^{2}-2x=0}\)
Po 2 warunku:
\(\displaystyle{ m \neq 0}\)
Po 3 warunku:
\(\displaystyle{ m\in(-\infty,0,2)\cup(0,5,+\infty)}\)
Po 4 warunku:
\(\displaystyle{ m\in(0, \frac{1}{3})}\)
Po 5 warunku:
\(\displaystyle{ m\in(0,2)}\)
Wynik końcowy to \(\displaystyle{ m\in(-\infty,0,2)\cup(2,+\infty)}\)
Czyli coś jest źle bo się nie zgadza, pewnie źle warunki napisane, czy może mi ktoś to sprawdzić ?
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Równanie z parametrem
\(\displaystyle{ \Delta>0}\), przecież może być jedno rozwiązanie - dodatnie.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1}+x _{2}>0 \\x _{1}x _{2}>0 \end{cases}}\)
Może być jedno dodatnie, drugie ujemne i już warunki leżą.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1}+x _{2}>0 \\x _{1}x _{2}>0 \end{cases}}\)
Może być jedno dodatnie, drugie ujemne i już warunki leżą.
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Równanie z parametrem
\(\displaystyle{ mx ^{3}-(9m-3)x ^{2}+(2-m)x=0}\)
\(\displaystyle{ x[mx ^2-(9m-3)x +(2-m)]=0}\)
Równanie ma zawsze jeden pierwiastek \(\displaystyle{ x=0}\)
Ponieważ musi mieć ma co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie, więc musisz rozpatrywać tylko równanie \(\displaystyle{ mx ^2-(9m-3)x +(2-m)=0}\)
1.
\(\displaystyle{ m=0}\)
\(\displaystyle{ mx ^2-(9m-3)x +(2-m)=0}\)
\(\displaystyle{ 3x + 2=0}\)
\(\displaystyle{ x=- \frac{2}{3}}\)
Brak rozwiązań.
2.
jeden z pierwiastków jest dodatni, a drugi nieujemny czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta \ge 0 \\x _{1}+x _{2}>0 \\x _{1}x _{2} \ge 0\end{cases}}\)
lub dwa pierwiastków różnych znaków czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta \ge 0 \\x _{1}x _{2} <0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x[mx ^2-(9m-3)x +(2-m)]=0}\)
Równanie ma zawsze jeden pierwiastek \(\displaystyle{ x=0}\)
Ponieważ musi mieć ma co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie, więc musisz rozpatrywać tylko równanie \(\displaystyle{ mx ^2-(9m-3)x +(2-m)=0}\)
1.
\(\displaystyle{ m=0}\)
\(\displaystyle{ mx ^2-(9m-3)x +(2-m)=0}\)
\(\displaystyle{ 3x + 2=0}\)
\(\displaystyle{ x=- \frac{2}{3}}\)
Brak rozwiązań.
2.
jeden z pierwiastków jest dodatni, a drugi nieujemny czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta \ge 0 \\x _{1}+x _{2}>0 \\x _{1}x _{2} \ge 0\end{cases}}\)
lub dwa pierwiastków różnych znaków czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta \ge 0 \\x _{1}x _{2} <0\end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Równanie z parametrem
Można również policzyć zbiór przeciwny, czyli brak rozwiązań lub dwa ujemne lub tylko jedno ujemne, a rozwiązaniem będzie dopełnienie tego zbioru (oczywiście rozpatrujemy dla \(\displaystyle{ m \neq 0}\)).
Ostatnio zmieniony 29 paź 2011, o 16:58 przez kamil13151, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 111
- Rejestracja: 24 wrz 2009, o 18:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 38 razy
Równanie z parametrem
Czyli warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta \ge 0 \\x _{1}x _{2} <0\end{cases}}\)
Przy innych nie wychodzi.
\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta \ge 0 \\x _{1}x _{2} <0\end{cases}}\)
Przy innych nie wychodzi.
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Równanie z parametrem
Nie bardzo wiem co masz na myśli.damS pisze:Czyli warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta \ge 0 \\x _{1}x _{2} <0\end{cases}}\)
Przy innych nie wychodzi.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Równanie z parametrem
Chyba mu chodzi o mój pomysł, także u mnie będzie wyglądało to tak:
\(\displaystyle{ \left( \Delta <0 \vee \begin{cases} \Delta \ge 0 \\ x_1+x_2<0 \\ x_1x_2>0 \end{cases}\right) \wedge m \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \left( \Delta <0 \vee \begin{cases} \Delta \ge 0 \\ x_1+x_2<0 \\ x_1x_2>0 \end{cases}\right) \wedge m \neq 0}\)
Ostatnio zmieniony 29 paź 2011, o 16:59 przez kamil13151, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 111
- Rejestracja: 24 wrz 2009, o 18:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 38 razy
Równanie z parametrem
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0\\x_1+x_2<0 \\ x_1x_2>0 \end{cases}}\)
Przy tych warunkach wychodzi tak:
\(\displaystyle{ m\in(0,2)}\)
Rozrysowałem sobie zbiory i ustaliłem wspólny.
Czy wam tez tak wychodzi?
W kluczu jest:
\(\displaystyle{ m\in(-\infty,0,2)\cup(2,+\infty)}\)-- 29 paź 2011, o 16:41 --Lecz jak jest Napisane co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie to te warunki starczają:
\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta \ge 0 \\x _{1}x _{2} <0\end{cases}}\)
Czy nie mogą być tylko one? Bo wg. mnie to tylko one muszą być.
Bo z nich wynika, że jest jedna liczba dodatnia a druga ujemna.
W zadaniu napisano że co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie, czyli tylko te co mają właśnie jedno dodatnie.
Przy innych warunkach to wynik nie pasuje już do kluczu.
Przy tych warunkach wychodzi tak:
\(\displaystyle{ m\in(0,2)}\)
Rozrysowałem sobie zbiory i ustaliłem wspólny.
Czy wam tez tak wychodzi?
W kluczu jest:
\(\displaystyle{ m\in(-\infty,0,2)\cup(2,+\infty)}\)-- 29 paź 2011, o 16:41 --Lecz jak jest Napisane co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie to te warunki starczają:
\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta \ge 0 \\x _{1}x _{2} <0\end{cases}}\)
Czy nie mogą być tylko one? Bo wg. mnie to tylko one muszą być.
Bo z nich wynika, że jest jedna liczba dodatnia a druga ujemna.
W zadaniu napisano że co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie, czyli tylko te co mają właśnie jedno dodatnie.
Przy innych warunkach to wynik nie pasuje już do kluczu.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Równanie z parametrem
Klucz jest błędny, dla \(\displaystyle{ m=1}\) mamy 3 rozwiązania, z tego jedno dodatnie. Te rozwiązanie \(\displaystyle{ m\in(0,2)}\) też błędne.
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Równanie z parametrem
2.
\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta \ge 0 \\x _{1}+x _{2}>0 \\x _{1}x _{2} \ge 0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x \in [\frac{9}{17}; 2]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta \ge 0 \\x _{1}x _{2} <0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x \in (- \infty;0) \cup (2;+ \infty )}\)
czyli
\(\displaystyle{ x in (- infty;0) cup [ frac{9}{17};+ infty )}\)
Chyba, że gdzieś się pomyliłam.-- dzisiaj, o 17:02 --\(\displaystyle{ mx ^{3}-(9m-3)x ^{2}+(2-m)x=0}\)
Dobrze to przepisałeś?
Nie powinno być czasem:
\(\displaystyle{ mx ^{3}+(9m-3)x ^{2}+(2-m)x=0}\)
?
\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta \ge 0 \\x _{1}+x _{2}>0 \\x _{1}x _{2} \ge 0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x \in [\frac{9}{17}; 2]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta \ge 0 \\x _{1}x _{2} <0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x \in (- \infty;0) \cup (2;+ \infty )}\)
czyli
\(\displaystyle{ x in (- infty;0) cup [ frac{9}{17};+ infty )}\)
Chyba, że gdzieś się pomyliłam.-- dzisiaj, o 17:02 --\(\displaystyle{ mx ^{3}-(9m-3)x ^{2}+(2-m)x=0}\)
Dobrze to przepisałeś?
Nie powinno być czasem:
\(\displaystyle{ mx ^{3}+(9m-3)x ^{2}+(2-m)x=0}\)
?
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Równanie z parametrem
Tyle samo mi wyszło moim sposobem.anna_ pisze:\(\displaystyle{ x in (- infty;0) cup [ frac{9}{17};+ infty )}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 111
- Rejestracja: 24 wrz 2009, o 18:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 38 razy
Równanie z parametrem
Mi z tego 1 układu wychodzi \(\displaystyle{ m\in(0, \frac{1}{3})}\)
A drugi tak samo.
A powiedz ile ci wyszło z:
\(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}>0}\)
Na pewno coś źle liczę, korzystam z tych wzorów Viete'a
na sume pierwiastków \(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}= \frac{-b}{a}}\)
i mi non stop wychodzi \(\displaystyle{ m\in(0, \frac{1}{3})}\)
A drugi tak samo.
A powiedz ile ci wyszło z:
\(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}>0}\)
Na pewno coś źle liczę, korzystam z tych wzorów Viete'a
na sume pierwiastków \(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}= \frac{-b}{a}}\)
i mi non stop wychodzi \(\displaystyle{ m\in(0, \frac{1}{3})}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Równanie z parametrem
\(\displaystyle{ x_1+x_2<0}\) wychodzi \(\displaystyle{ m\in(0, \frac{1}{3})}\), \(\displaystyle{ x_1x_2>0}\) wychodzi \(\displaystyle{ m \in (0,2)}\). Zapewne źle rozwiązujesz.
\(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}= \frac{9m-3}{m}}\)
\(\displaystyle{ \frac{9m-3}{m} >0}\) i mnożymy przez kwadrat mianownika \(\displaystyle{ (9m-3)m>0}\), stąd \(\displaystyle{ m \in (- \infty ,0) \vee (\frac{1}{3};+ \infty )}\).
\(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}= \frac{9m-3}{m}}\)
\(\displaystyle{ \frac{9m-3}{m} >0}\) i mnożymy przez kwadrat mianownika \(\displaystyle{ (9m-3)m>0}\), stąd \(\displaystyle{ m \in (- \infty ,0) \vee (\frac{1}{3};+ \infty )}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 111
- Rejestracja: 24 wrz 2009, o 18:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 38 razy
Równanie z parametrem
Dlaczego tak:
\(\displaystyle{ \frac{9m-3}{m} >0}\)
Jak we wzorze jest \(\displaystyle{ -b}\)
Czyli powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{-9m+3}{m} >0}\)
-- 29 paź 2011, o 17:22 --
No a ja się pomyliłem w przepisywaniu i powinno być:
\(\displaystyle{ mx ^{3}+(9m-3)x ^{2}+(2-m)x=0}\) i tutaj przed 9 widać plus, wiec przy podstawianiu do wzoru się musi zmienić znak, chyba, że ja czegoś nie wiem-- 29 paź 2011, o 17:25 --Już się domyślam, bo jak źle przepisałem zadanie i wy z niego korzystaliście, a ja mam tutaj przy sobie książkę i inaczej mi wychodziło.
\(\displaystyle{ \frac{9m-3}{m} >0}\)
Jak we wzorze jest \(\displaystyle{ -b}\)
Czyli powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{-9m+3}{m} >0}\)
-- 29 paź 2011, o 17:22 --
No a ja się pomyliłem w przepisywaniu i powinno być:
\(\displaystyle{ mx ^{3}+(9m-3)x ^{2}+(2-m)x=0}\) i tutaj przed 9 widać plus, wiec przy podstawianiu do wzoru się musi zmienić znak, chyba, że ja czegoś nie wiem-- 29 paź 2011, o 17:25 --Już się domyślam, bo jak źle przepisałem zadanie i wy z niego korzystaliście, a ja mam tutaj przy sobie książkę i inaczej mi wychodziło.