Równanie z parametrem

[damS]

Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie \(\displaystyle{ mx ^{3}-(9m-3)x ^{2}+(2-m)x=0}\)
ma co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie.

Założyłem warunki:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \ a=0\\a \neq 0\\ \Delta > 0 \\ x _{1}+x _{2}>0 \\x _{1}x _{2}>0\end{cases}}\)

Jeden pierwiastek to 0, widać to już z początku po wyciągnięciu przez nawias.

Po 1 warunku:
\(\displaystyle{ m=0}\) - nie spełnia warunków zadania
\(\displaystyle{ -3x ^{2}-2x=0}\)

Po 2 warunku:
\(\displaystyle{ m \neq 0}\)

Po 3 warunku:

\(\displaystyle{ m\in(-\infty,0,2)\cup(0,5,+\infty)}\)

Po 4 warunku:

\(\displaystyle{ m\in(0, \frac{1}{3})}\)

Po 5 warunku:

\(\displaystyle{ m\in(0,2)}\)

Wynik końcowy to \(\displaystyle{ m\in(-\infty,0,2)\cup(2,+\infty)}\)

Czyli coś jest źle bo się nie zgadza, pewnie źle warunki napisane, czy może mi ktoś to sprawdzić ?

[kamil13151]

\(\displaystyle{ \Delta>0}\), przecież może być jedno rozwiązanie - dodatnie.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1}+x _{2}>0 \\x _{1}x _{2}>0 \end{cases}}\)
Może być jedno dodatnie, drugie ujemne i już warunki leżą.

[anna_]

\(\displaystyle{ mx ^{3}-(9m-3)x ^{2}+(2-m)x=0}\)

\(\displaystyle{ x[mx ^2-(9m-3)x +(2-m)]=0}\)

Równanie ma zawsze jeden pierwiastek \(\displaystyle{ x=0}\)

Ponieważ musi mieć ma co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie, więc musisz rozpatrywać tylko równanie \(\displaystyle{ mx ^2-(9m-3)x +(2-m)=0}\)

1.
\(\displaystyle{ m=0}\)
\(\displaystyle{ mx ^2-(9m-3)x +(2-m)=0}\)
\(\displaystyle{ 3x + 2=0}\)
\(\displaystyle{ x=- \frac{2}{3}}\)

Brak rozwiązań.

2.
jeden z pierwiastków jest dodatni, a drugi nieujemny czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta \ge 0 \\x _{1}+x _{2}>0 \\x _{1}x _{2} \ge 0\end{cases}}\)

lub dwa pierwiastków różnych znaków czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta \ge 0 \\x _{1}x _{2} <0\end{cases}}\)

[kamil13151]

Można również policzyć zbiór przeciwny, czyli brak rozwiązań lub dwa ujemne lub tylko jedno ujemne, a rozwiązaniem będzie dopełnienie tego zbioru (oczywiście rozpatrujemy dla \(\displaystyle{ m \neq 0}\)).

[damS]

Czyli warunki:

\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta \ge 0 \\x _{1}x _{2} <0\end{cases}}\)

Przy innych nie wychodzi.

[anna_]

Czyli warunki:

\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta \ge 0 \\x _{1}x _{2} <0\end{cases}}\)

Przy innych nie wychodzi.

Nie bardzo wiem co masz na myśli.

[kamil13151]

Chyba mu chodzi o mój pomysł, także u mnie będzie wyglądało to tak:
\(\displaystyle{ \left( \Delta <0 \vee \begin{cases} \Delta \ge 0 \\ x_1+x_2<0 \\ x_1x_2>0 \end{cases}\right) \wedge m \neq 0}\)

[damS]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0\\x_1+x_2<0 \\ x_1x_2>0 \end{cases}}\)


Przy tych warunkach wychodzi tak:

\(\displaystyle{ m\in(0,2)}\)

Rozrysowałem sobie zbiory i ustaliłem wspólny.
Czy wam tez tak wychodzi?

W kluczu jest:

\(\displaystyle{ m\in(-\infty,0,2)\cup(2,+\infty)}\)-- 29 paź 2011, o 16:41 --Lecz jak jest Napisane co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie to te warunki starczają:

\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta \ge 0 \\x _{1}x _{2} <0\end{cases}}\)

Czy nie mogą być tylko one? Bo wg. mnie to tylko one muszą być.
Bo z nich wynika, że jest jedna liczba dodatnia a druga ujemna.

W zadaniu napisano że co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie, czyli tylko te co mają właśnie jedno dodatnie.

Przy innych warunkach to wynik nie pasuje już do kluczu.

[kamil13151]

Klucz jest błędny, dla \(\displaystyle{ m=1}\) mamy 3 rozwiązania, z tego jedno dodatnie. Te rozwiązanie \(\displaystyle{ m\in(0,2)}\) też błędne.

[damS]

To ja już nie wiem w końcu jakie mam warunki użyć.Pomieszało mi się to.

[anna_]

2.
\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta \ge 0 \\x _{1}+x _{2}>0 \\x _{1}x _{2} \ge 0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x \in [\frac{9}{17}; 2]}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta \ge 0 \\x _{1}x _{2} <0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ x \in (- \infty;0) \cup (2;+ \infty )}\)

czyli

\(\displaystyle{ x in (- infty;0) cup [ frac{9}{17};+ infty )}\)

Chyba, że gdzieś się pomyliłam.-- dzisiaj, o 17:02 --\(\displaystyle{ mx ^{3}-(9m-3)x ^{2}+(2-m)x=0}\)

Dobrze to przepisałeś?

Nie powinno być czasem:
\(\displaystyle{ mx ^{3}+(9m-3)x ^{2}+(2-m)x=0}\)
?

[kamil13151]

\(\displaystyle{ x in (- infty;0) cup [ frac{9}{17};+ infty )}\)

Tyle samo mi wyszło moim sposobem.

[damS]

Mi z tego 1 układu wychodzi \(\displaystyle{ m\in(0, \frac{1}{3})}\)

A drugi tak samo.

A powiedz ile ci wyszło z:

\(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}>0}\)


Na pewno coś źle liczę, korzystam z tych wzorów Viete'a

na sume pierwiastków \(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}= \frac{-b}{a}}\)
i mi non stop wychodzi \(\displaystyle{ m\in(0, \frac{1}{3})}\)

[kamil13151]

\(\displaystyle{ x_1+x_2<0}\) wychodzi \(\displaystyle{ m\in(0, \frac{1}{3})}\), \(\displaystyle{ x_1x_2>0}\) wychodzi \(\displaystyle{ m \in (0,2)}\). Zapewne źle rozwiązujesz.

\(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}= \frac{9m-3}{m}}\)

\(\displaystyle{ \frac{9m-3}{m} >0}\) i mnożymy przez kwadrat mianownika \(\displaystyle{ (9m-3)m>0}\), stąd \(\displaystyle{ m \in (- \infty ,0) \vee (\frac{1}{3};+ \infty )}\).

[damS]

Dlaczego tak:

\(\displaystyle{ \frac{9m-3}{m} >0}\)

Jak we wzorze jest \(\displaystyle{ -b}\)

Czyli powinno być:

\(\displaystyle{ \frac{-9m+3}{m} >0}\)

-- 29 paź 2011, o 17:22 --

No a ja się pomyliłem w przepisywaniu i powinno być:

\(\displaystyle{ mx ^{3}+(9m-3)x ^{2}+(2-m)x=0}\) i tutaj przed 9 widać plus, wiec przy podstawianiu do wzoru się musi zmienić znak, chyba, że ja czegoś nie wiem-- 29 paź 2011, o 17:25 --Już się domyślam, bo jak źle przepisałem zadanie i wy z niego korzystaliście, a ja mam tutaj przy sobie książkę i inaczej mi wychodziło.