Brak rozwiązań równania z parametrem.

[damS]

Witam

Mam taki problem, gdyż nie wiem jak w wielomianach stosować warunki.

Mam takie zadanie
Zad1.
Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ x^{4} +(1-2m)x ^{2} +2m ^{2} + \frac{1}{4} =0}\)
Nie ma rozwiązań

-Zadanie mam zrobione, lecz nie wiem skąd się bierze reszta warunków.Jednym z nich jest \(\displaystyle{ \Delta < 0}\)

Będę bardzo wdzięczny za wytłumaczenie lub nakierowanie dlaczego tak a nie inaczej.Z funkcją kwadratową nie miałem problemów, a tutaj się zaczęły.

[Fuv]

Wystarczy uświadomić sobie kiedy trójmian nie ma pierwiastków. Wtedy kiedy ani razu nie przecina się z osią OX. A kiedy nie przecina się z osią OX? Wtedy kiedy wyróżnik(delta) jest mniejszy od zera.
Gdy delta byłaby równa jeden, to wielomian ten przeciął by OX w jednym miejscu - miałby więc jeden pierwiastek(podwójny). A gdyby delta była większa od zera, to przeciąłby OX w dwóch miejscach - miałby więc dwa rozwiązania.

[Qń]

Póki co nie ma w ogóle co mówić o delcie, bo to nie jest równanie kwadratowe. Dopiero po podstawieniu \(\displaystyle{ t=x^2}\) dostajemy równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ t^{2} +(1-2m)t +2m ^{2} + \frac{1}{4} =0}\)

Jeśli teraz delta jest ujemna, to oczywiście nie ma rozwiązań.

Ale jeśli to równanie ma wyłącznie rozwiązania ujemne, czyli \(\displaystyle{ t}\) może być tylko ujemne, to po wróceniu do podstawienia okaże się, że nie ma dobrych iksów, czyli też nie ma rozwiązań. Tak więc innym dobrym zestawem warunków jest:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\Delta \ge 0 \\ t_1t_2 > 0 \\ t_1+t_2<0\end{cases}}\)

Q.

[damS]

\(\displaystyle{ \begin{cases}\Delta \ge 0 \\ t_1t_2 > 0 \\ t_1+t_2<0\end{cases}}\)

Q.

Napisałeś te przypadki, one są dla iksów ujemnych, jest to jeden z 3 założeń z przypadkami jaki mam w rozwiązanych zeszycie.

Ale jeszcze jest takie coś:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta = 0 \\ t _{0}<0 \end{cases}}\)

I co to niby ma oznaczać ?

Ja to rozumiem jakby wyliczenie braku rozwiązań od wierzchołka w dół, gdyż \(\displaystyle{ t_{0}<0}\)m ale jest jeszcze \(\displaystyle{ \Delta = 0}\) i tutaj już kompletnie nie wiem o co chodzi.

Bo przecież jak jest Delta = 0 to są 2 rozwiązania w funkcji kwadratowej.A mamy wyliczyć w końcu dla jakich m nie ma rozwiązań.

Może to co napisałem jest bzdurą, lecz dla mnie to tak wygląda.

[Qń]

Ten przypadek zawiera się w tym co napisałem - celowo napisałem bowiem przy delcie nierówność nieostrą (tzn. "\(\displaystyle{ \ge}\)").

Q.

[damS]

Z \(\displaystyle{ \Delta < 0}\) wychodzi przedział \(\displaystyle{ x\in(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)}\)

A z tych drugich warunków:

\(\displaystyle{ x\in<-1,- \frac{1}{8})\cup(- \frac{1}{8},0>}\)


No i jak niby ma wyjść \(\displaystyle{ m\in R}\) ?

Jak po sumie tych przedziałów nie wychodzi to.

Chyba, że ja coś źle obliczyłem.

@up

Jednak dobrze jest, źle wyliczyłem jedną rzecz, lecz nadal nie mogę zrozumieć tych przypadków co mi napisałeś, siedzę i myślę nad tym lecz nie rozumiem dlaczego musi być dla rozwiązań ujemnych.


@up

Już doszedłem do wniosku, takiego że jeżeli mamy t ujemne i potem potem po podstawieniu do X wypierwiastkujemy ujemną liczbę to mamy sprzeczność i nie ma rozwiązań.Czytałem twój 1 post w tym dziale z 10 razy i nie mogłem zrozumieć, lecz już teraz wiem i bardzo dziękuję za pomoc.

[Qń]

nadal nie mogę zrozumieć tych przypadków co mi napisałeś, siedzę i myślę nad tym lecz nie rozumiem dlaczego musi być dla rozwiązań ujemnych.

Spróbuj w takim razie rozwiązać w ramach ćwiczenia równanie:
\(\displaystyle{ x^4+5x^2+4=0}\)

Q.

[damS]

A to równanie jest tylko kwadratowe po przekształceniu i rozwiązaniu wyszło \(\displaystyle{ t\in R}\)

Zrobiłem analogicznie tak jak to poprzednie, te same warunki jak dla równania które nie ma rozwiązań.
Lecz tutaj nie mam już parametru m.I nie wiem czy dobrze mi wyszło.

Bo normalnie z \(\displaystyle{ \Delta < 0}\) to wyszła \(\displaystyle{ t\in (-4,-1)}\)

[Qń]

W tym równaniu niewiadomą jest \(\displaystyle{ x}\).

Q.

[damS]

Czyli będzie w końcu ta moja druga odpowiedz.

To już wiem o co chodzi w rozwiązywaniu tych zadań z parametrem, zaraz sobie poćwiczę jeszcze by do końca się tego nauczyć.Wielkie dzięki.

[Qń]

Z udzielonej przez Ciebie odpowiedzi nie wynika, żebyś wiedział o co chodzi. Niewiadomą w tym równaniu jest \(\displaystyle{ x}\), więc w szczególności w odpowiedzi powinno pojawić się wyłącznie \(\displaystyle{ x}\), a nie \(\displaystyle{ t}\), które jest sztucznie zdefiniowaną przez nas pomocniczą zmienną.

Q.

[damS]

No to jak wyszedł mi ten przedział z \(\displaystyle{ t\in (-4,-1)}\)
To wychodzi, że nie ma takiego iksa, gdyż założyliśmy, że \(\displaystyle{ t \ge 0}\)

[Qń]

Przecież rozwiązaniem równania wielomianowego nie może być przedział.

To jest równanie bez parametru, prostsze od tego które pojawiło się w tym wątku - zamieściłem je jako ćwiczenie, żebyś mógł zobaczyć, że wyjściowe równanie może nie mieć rozwiązań, mimo że delta równania pomocniczego jest dodatnia. Bo taka właśnie sytuacja ma miejsce w zadaniu z tego wątku.

Q.

PS. Mała sugestia: nie edytuj nieustannie swoich postów, bo to uniemożliwia odnoszenie się do tego co piszesz.