Wielomiany o współczynnikach wymiernych

[tatteredspire]

Wykazać, że dla dowolnego wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) stopnia \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}_+}\) o współczynnikach wymiernych istnieje wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\) stopnia \(\displaystyle{ k+1}\) o współczynnikach wymiernych, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_+}\) prawdziwa jest równość \(\displaystyle{ W(1)+W(2)+W(3)+...+W(n)=Q(n)}\)

[Vax]

Niech dla pewnych \(\displaystyle{ a_i \in \mathbb{Q}}\), \(\displaystyle{ W(x) = \sum_{i=0}^{k} a_ix^i}\), wówczas:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} W(i) = \sum_{i=0}^{k} \left(a_i\sum_{j=1}^{n}j^i\right)}\)

Wystarczy zatem dowieść, że dla dowolnego naturalnego m, \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i^m}\) jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ m+1}\), wtedy po prawej dostaniemy pewien wielomian stopnia \(\displaystyle{ k+1}\), co jest naszą tezą. Korzystamy z indukcji. Dla \(\displaystyle{ m=0}\) działa, załóżmy, że teza zachodzi dla wszystkich \(\displaystyle{ m \in \lbrace 0;1;2;...;k-2\rbrace \wedge k\in \mathbb{Z} \wedge k \ge 2}\), pokażemy, że wówczas teza zajdzie dla \(\displaystyle{ m=k-1}\). Istotnie:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i^k + (n+1)^k = \sum_{i=1}^{n+1} i^k = 1+\sum_{i=1}^{n}(i+1)^k = 1 + \sum_{i=1}^{n} \left(\sum_{j=0}^{k} {k \choose j}i^{k-j} \right) \\ \\ \iff \\ \\k\sum_{i=1}^{n}i^{k-1} = (n+1)^k - \sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=2}^{k}{k \choose j}i^{k-j}\right) - 1}\)

Ale \(\displaystyle{ (n+1)^k}\) będzie wielomianem stopnia k, a wszystkie pozostałe wielomiany z założenia indukcyjnego są wielomianami stopnia odpowiednio \(\displaystyle{ k-1 , k-2 , ... , 0}\) więc dany wielomian będzie wielomianem stopnia \(\displaystyle{ k}\), cnd.

[tatteredspire]

A możesz napisać w którym miejscu jest pokazane, że istnieje taki układ współczynników dla wielomianu \(\displaystyle{ Q}\), że będzie prawdziwa ta równość dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\), którą trzeba udowodnić? Trochę się pogubiłem w tym przyznam szczerze tzn. obliczenia mniej więcej rozumiem, ale to o co pytam najwyraźniej mi gdzieś umknęło.

[Vax]

Z założeń zadania wiemy, że \(\displaystyle{ W}\) jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ k}\), o współczynnikach wymiernych, więc możemy zapisać, że \(\displaystyle{ W(x) = \sum_{i=0}^{k} a_ix^i}\)

Teraz mamy pokazać, że istnieje taki wielomian \(\displaystyle{ Q}\), który spełnia dwa warunki, dla dowolnego naturalnego n spełnia \(\displaystyle{ W(1)+W(2)+W(3)+...+W(n)=Q(n)}\) oraz jest stopnia \(\displaystyle{ k+1}\). Korzystając z postaci naszego \(\displaystyle{ W(x)}\) możemy zapisać:

\(\displaystyle{ W(1)+W(2)+...+W(n) = \sum_{i=0}^{k} \left(a_i\sum_{j=1}^{n}j^i\right)}\)

Traktujemy prawą stronę jako nasz wielomian \(\displaystyle{ Q}\), naszą sumę po lewej zapisaliśmy po prostu w innej postaci, jest to równość prawdziwa dla dowolnego naturalnego n, pozostaje więc dowieść tego, że prawa strona będzie wielomianem stopnia \(\displaystyle{ k+1}\), czego dowiodłem w poprzednim poście.

[tatteredspire]

Chyba rozumiem. Ja próbowałem zrobić to inaczej, ale nie nic mi nie wychodziło - założyłem, że wielomian \(\displaystyle{ Q}\) jest stopnia \(\displaystyle{ k+1}\) i zapisałem go w postaci \(\displaystyle{ Q(x) = \sum_{i=0}^{k} b_ix^i}\) i próbowałem znaleźć związek między współczynnikami \(\displaystyle{ Q}\) oraz \(\displaystyle{ W}\), a indukcję próbowałem robić po argumentach, a nie po stopniu, czyli jakby próbowałem znaleźć wzór na taki wielomian - bezskutecznie. Jeśli dobrze rozumiem, to Twój dowód jest niekonstruktywny - pokazujesz, że taki wielomian istnieje, ale go nie wskazujesz tj. nie podajesz wzoru na współczynniki wielomianu \(\displaystyle{ Q}\) w zależności od współczynników wielomianu \(\displaystyle{ W}\). Czy tak?

Dziękuję za rozwiązanie.

[Vax]

Tak, jakby się uprzeć to można by było podać konkretną postać tego wielomianu, jednak będzie przy tym sporo obliczeń, a to do niczego nam się nie przyda. Mieliśmy pokazać, że istnieje wielomian stopnia \(\displaystyle{ k+1}\) który spełnia daną równość, pokazaliśmy, że takowy istnieje, nie trzeba podawać jego dokładnej postaci.