Inny wynik przy dzieleniu pisemny oraz schemacie Hornera

marek252 · Post autor: **marek252** » 27 paź 2011, o 20:58

Witam.
Dzisiaj mieliśmy pierwszą lekcję odnośnie wielomianów. Sam początek, 2LO. Dzieliliśmy wielomiany metodą pisemną i schematem Hornera. Gdy robiliśmy taki przykład: \(\displaystyle{ (x^5-2x^4+2x-7):(x^2-5x+6)}\) wyszły nam dwa różne wyniki. Teraz pytanie, dlaczego? Jakiś błąd w obliczeniach? W tym schemacie Horneta to \(\displaystyle{ (x^2-5x+6)}\) zapisaliśmy jako \(\displaystyle{ (x-2)(x-3)}\), z tabelki wyszło nam coś takiego \(\displaystyle{ =x^3+3x^2+9x+27}\) i reszta \(\displaystyle{ =-3+83=80}\) . Gdy robiliśmy ten sam przykład metodą pisemną (tak jak dzielenie pisemne) wyszło nam coś takiego: \(\displaystyle{ =x^3+3x^2+9x+27}\) i reszta \(\displaystyle{ =83x-169}\) . Czyli nie zgadza nam się reszta. Teraz pytanie. Gdzie popełniliśmy błąd? Nauczyciel również nie mógł go znaleźć. Była to pierwsza lekcja, więc prosiłbym wytłumaczenie w miarę na ten poziom.
Pozdrawiam

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 27 paź 2011, o 21:10

Schemat Hornera możesz wykorzystać tylko i wyłącznie, gdy dzielisz przez dwumian postaci \(\displaystyle{ x-a}\), nie możesz go stosować do innych dzielników. Pisemnie macie wynik dobry wg mnie.

abc666 · Post autor: **abc666** » 27 paź 2011, o 21:23

dawid.barracuda, oni dzielili przez dwumian ale dwa razy.

marek252, błąd był w schemacie Hornera. Oznaczmy \(\displaystyle{ W(x)=x^5-2x^4+2x-7}\). Dzielimy najpierw np. przez \(\displaystyle{ (x-2)}\) i Dostajemy, że
\(\displaystyle{ W(x)=(x-2)P(x)+R_1}\)
gdzie \(\displaystyle{ P(x)}\) jest wielomianem stopnia 4. Teraz w schematem dzielicie \(\displaystyle{ P(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x-3)}\) i dostajecie
\(\displaystyle{ W(x)=(x-2)(Q(x)(x-3)+R_2)+R_1}\)
gdzie \(\displaystyle{ Q(x)=x^3+3x^2+9x+27}\)

więc po wymnożeniu \(\displaystyle{ W(x)=(x-2)(x-3)Q(x)+\underbrace{(x-2)R_2+R_1}_{R(x)}}\)
Ze schematu wyszło, że \(\displaystyle{ R_2=83}\), a \(\displaystyle{ R_1=-3}\) skąd

\(\displaystyle{ R(x)=(x-2)R_2+R_1=(x-2)\cdot 83-3=83x-169}\)

marek252 · Post autor: **marek252** » 27 paź 2011, o 21:45

Nie rozumiem skąd się wzięło to:
"więc po wymnożeniu
\(\displaystyle{ W(x)=(x-2)(x-3)Q(x)+\underbrace{(x-2)R_2+R_1}_{R(x)}}\) "
Dlaczego \(\displaystyle{ R(x)=(x-2)R _{2}+R _{2}}\) a nie \(\displaystyle{ R _{2}+R _{1}}\) ?

abc666 · Post autor: **abc666** » 27 paź 2011, o 21:56

Kiedy dzielisz pierwszy raz, dzielisz \(\displaystyle{ W(x)}\) i dostajesz

\(\displaystyle{ W(x)=(x-2)P(x)+R_1}\)

teraz masz drugie niezależne dzielenie, ale wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\) i dostajesz
\(\displaystyle{ P(x)=Q(x)(x-3)+R_2}\)

Jeśli teraz podstawisz to wyżej dostaniesz
\(\displaystyle{ W(x)=(x-2)\underbrace{(Q(x)(x-3)+R_2)}_{P(x)}+R_1}\)
Jeśli teraz wymnożysz dostaniesz
\(\displaystyle{ (x-2)(Q(x)(x-3)+R_2)+R_1=(x-2)Q(x)(x-3)+(x-2)R_2+R_1}\)

Dostałeś więc \(\displaystyle{ (x-2)(x-3)Q(x)+\text{coś}}\) a ten coś jest właśnie resztą z dzielenia przez \(\displaystyle{ (x-2)(x-3)}\) z definicji.

marek252 · Post autor: **marek252** » 27 paź 2011, o 22:14

Zmylił mnie jeden zapis.
Gdybyś tutaj:
" Jeśli teraz wymnożysz dostaniesz
\(\displaystyle{ (x-2)(Q(x)(x-3)+R_2)+R_1=}\) "
zrobił tak:
\(\displaystyle{ (x-2)[(Q(x)(x-3)+R_2)]+R_1=}\)
byłoby łatwiej zrozumieć .
Z tych wzorków wszystko już ładnie widać. Zrozumiałem. Serdeczne dzięki za pomoc.
Pozdrawiam

abc666 · Post autor: **abc666** » 27 paź 2011, o 22:37

Hmm ale tego nawisu kwadratowego tam nie ma. Jest
\(\displaystyle{ (x-2)\left[Q(x)(x-3)+R_2\right]+R_1}\)

marek252 · Post autor: **marek252** » 27 paź 2011, o 22:40

Aj. No tak, masz rację. Z pośpiechu wstawiłem za daleko. Już poprawiam.