Uzasadnij - wielomian
-
- Użytkownik
- Posty: 116
- Rejestracja: 16 cze 2011, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PW
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 3 razy
Uzasadnij - wielomian
1. Uzasadnij że wielomian \(\displaystyle{ W(x)= 2x^{3}+x+1}\) nie ma dodatnich pierwiastków.
2. Znajdź wszystkie liczby niewymierne \(\displaystyle{ a}\) takie, że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)= x^{3}-4 x^{2}+x+4}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x+a}\) jest równa \(\displaystyle{ a}\).
2. Znajdź wszystkie liczby niewymierne \(\displaystyle{ a}\) takie, że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)= x^{3}-4 x^{2}+x+4}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x+a}\) jest równa \(\displaystyle{ a}\).
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Uzasadnij - wielomian
1. \(\displaystyle{ W(0)=1>0}\)
Wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ W(x)}\) jest rosnący dla \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}_{+}}\)
Wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ W(x)}\) jest rosnący dla \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}_{+}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 116
- Rejestracja: 16 cze 2011, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PW
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 3 razy
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Uzasadnij - wielomian
ares41, Wykazanie że funkcja jest rosnąca wymaga znajomości
jednej z poniższych granic
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0}{ \frac{f\left( x+h\right)-f\left( x\right) }{h} } \\
\lim_{h \to 0}{ \frac{f\left( x+h\right)-f\left( x-h\right) }{2h} } \\
\lim_{h \to 0}{ \frac{f\left( x\right)-f\left( x-h\right) }{h} } \\}\)
a tego podobno już nie uczą
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0}{ \frac{2\left( x+h\right)^3+x+h+1-2x^3-x -1}{h} }=\\
\lim_{h \to 0}{ \frac{2x^{3}+6x^2h+6xh^2+2h^3+x+h+1-2x^3-x -1}{h} }=\\
\lim_{h \to 0}{ \frac{6x^2h+6xh^2+2h^3+h}{h} }=
\lim_{h \to 0}{ 6x^2+1+6xh+2h^2}\\
=6x^2+1}\)
\(\displaystyle{ 6x^2+1>0}\)
Ta nierówność jest spełniona dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\)
więc funkcja jest rosnąca na całym zbiorze liczb rzeczywistych
jednej z poniższych granic
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0}{ \frac{f\left( x+h\right)-f\left( x\right) }{h} } \\
\lim_{h \to 0}{ \frac{f\left( x+h\right)-f\left( x-h\right) }{2h} } \\
\lim_{h \to 0}{ \frac{f\left( x\right)-f\left( x-h\right) }{h} } \\}\)
a tego podobno już nie uczą
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0}{ \frac{2\left( x+h\right)^3+x+h+1-2x^3-x -1}{h} }=\\
\lim_{h \to 0}{ \frac{2x^{3}+6x^2h+6xh^2+2h^3+x+h+1-2x^3-x -1}{h} }=\\
\lim_{h \to 0}{ \frac{6x^2h+6xh^2+2h^3+h}{h} }=
\lim_{h \to 0}{ 6x^2+1+6xh+2h^2}\\
=6x^2+1}\)
\(\displaystyle{ 6x^2+1>0}\)
Ta nierówność jest spełniona dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\)
więc funkcja jest rosnąca na całym zbiorze liczb rzeczywistych
Ostatnio zmieniony 28 paź 2011, o 21:49 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Uzasadnij - wielomian
Nieprawda, wystarczy wiedzieć, że suma funkcji rosnących jest rosnąca.mariuszm pisze:ares41, Wykazanie że funkcja jest rosnąca wymaga znajomości
jednej z poniższych granic
Ponadto tak naprawdę monotoniczność nie jest nam do niczego potrzebna, bo dla dodatnich iksów wartość tego wielomianu to co najmniej jeden, więc nigdy nie może być równa zero.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 116
- Rejestracja: 16 cze 2011, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PW
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 3 razy
Uzasadnij - wielomian
A można by użyć pochodnej tego wielomianu?
\(\displaystyle{ W'(x)=2 \cdot 3 \cdot x^{2}+1}\) i napisać że nie osiąga ona miejsc zerowych? Czy to też jest rozwiązanie?
\(\displaystyle{ W'(x)=2 \cdot 3 \cdot x^{2}+1}\) i napisać że nie osiąga ona miejsc zerowych? Czy to też jest rozwiązanie?
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Uzasadnij - wielomian
To, że pochodna nie ma miejsc zerowych to nie oznacza, że funkcja główna też ich nie ma, to dowodzi, że funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie i może mieć maksymalnie jedno rozwiązanie.