Uzasadnij - wielomian

[szprot_w_oleju]

1. Uzasadnij że wielomian \(\displaystyle{ W(x)= 2x^{3}+x+1}\) nie ma dodatnich pierwiastków.
2. Znajdź wszystkie liczby niewymierne \(\displaystyle{ a}\) takie, że reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)= x^{3}-4 x^{2}+x+4}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x+a}\) jest równa \(\displaystyle{ a}\).

[ares41]

1. \(\displaystyle{ W(0)=1>0}\)
Wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ W(x)}\) jest rosnący dla \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}_{+}}\)

[szprot_w_oleju]

Jak to wykazać?

[ares41]

Z definicji. Co to znaczy, że funkcja jest rosnąca ?

[piasek101]

2) \(\displaystyle{ W(-a)=a}\)

[Mariusz M]

ares41, Wykazanie że funkcja jest rosnąca wymaga znajomości
jednej z poniższych granic

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0}{ \frac{f\left( x+h\right)-f\left( x\right) }{h} } \\
\lim_{h \to 0}{ \frac{f\left( x+h\right)-f\left( x-h\right) }{2h} } \\
\lim_{h \to 0}{ \frac{f\left( x\right)-f\left( x-h\right) }{h} } \\}\)

a tego podobno już nie uczą

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0}{ \frac{2\left( x+h\right)^3+x+h+1-2x^3-x -1}{h} }=\\
\lim_{h \to 0}{ \frac{2x^{3}+6x^2h+6xh^2+2h^3+x+h+1-2x^3-x -1}{h} }=\\
\lim_{h \to 0}{ \frac{6x^2h+6xh^2+2h^3+h}{h} }=
\lim_{h \to 0}{ 6x^2+1+6xh+2h^2}\\
=6x^2+1}\)

\(\displaystyle{ 6x^2+1>0}\)

Ta nierówność jest spełniona dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\)
więc funkcja jest rosnąca na całym zbiorze liczb rzeczywistych

[ares41]

A niby dlaczego?

Weźmy \(\displaystyle{ x_1>x_2 >0}\)
Wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ W(x_1)>W(x_2)}\)

[kamil13151]

\(\displaystyle{ W(x)= 2x^{3}+x+1=x(2x^2+1)+1}\)

[Qń]

ares41, Wykazanie że funkcja jest rosnąca wymaga znajomości
jednej z poniższych granic

Nieprawda, wystarczy wiedzieć, że suma funkcji rosnących jest rosnąca.

Ponadto tak naprawdę monotoniczność nie jest nam do niczego potrzebna, bo dla dodatnich iksów wartość tego wielomianu to co najmniej jeden, więc nigdy nie może być równa zero.

Q.

[szprot_w_oleju]

A można by użyć pochodnej tego wielomianu?
\(\displaystyle{ W'(x)=2 \cdot 3 \cdot x^{2}+1}\) i napisać że nie osiąga ona miejsc zerowych? Czy to też jest rozwiązanie?

[kamil13151]

To, że pochodna nie ma miejsc zerowych to nie oznacza, że funkcja główna też ich nie ma, to dowodzi, że funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie i może mieć maksymalnie jedno rozwiązanie.