dla jakich m W(x) ma pierwiastek trzykrotny

Zielinsky · Post autor: **Zielinsky** » 22 paź 2011, o 21:43

Dla jakich m wielomian \(\displaystyle{ W(x)=2x ^{4} -2x^{3}-6x^{2}+10x+m}\) ma pierwiastek trzykrotny?

Post autor: **Chromosom** » 22 paź 2011, o 21:45

Pierwiastek jest trzykrotny w punkcie, w którym druga pochodna ma wartość zerową. W przypadku tego wielomianu istnieje tylko jeden taki punkt, przyjmijmy \(\displaystyle{ x_0}\) - dokładną wartość wyznaczysz samodzielnie. Dodatkowo musi zachodzić \(\displaystyle{ W(x_0)=0}\)

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 22 paź 2011, o 22:00

Chromosom pisze:Pierwiastek jest trzykrotny w punkcie, w którym trzecia pochodna ma wartość zerową.

Miałeś na myśli drugą pochodną chyba...

math questions · Post autor: **math questions** » 22 paź 2011, o 22:18

lub bardziej żmudna praca oczywiście nie jest powiedziane jaki to ma być pierwiastek dodatni czy ujemny więc zabawa jeszcze ze znakami:)

\(\displaystyle{ a \cdot (x-b) ^{3} \cdot (x-c)=W(x)}\)

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 22 paź 2011, o 22:22

Chromosom pisze:Pierwiastek jest trzykrotny w punkcie, w którym druga pochodna ma wartość zerową. W przypadku tego wielomianu istnieje tylko jeden taki punkt, przyjmijmy \(\displaystyle{ x_0}\) - dokładną wartość wyznaczysz samodzielnie. Dodatkowo musi zachodzić \(\displaystyle{ W(x_0)=0}\)

Do tego jeszcze trzeba dodać, że pochodna trzeciego stopnia w tym punkcie ma być różna od zera, w sumie dostajemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(x_0)=0 \\ W'(x_0)=0 \\ W''(x_0)=0 \\ W'''(x_0) \neq 0 \end{cases}}\)