równania wielomianowe

[kicpereniek]

witam!
serdecznie proszę o pomoc przy rozwiązaniu równań wielomianowych:
a) \(\displaystyle{ x\left( \left( 2 \sqrt{2}x ^{2}- \sqrt{6}x \right)\left( 2 \sqrt{2}x ^{2}+ \sqrt{6}x \right) \right) -x\left( \left( 16x ^{2}-12 \right)+1 \right)=2}\)
b) \(\displaystyle{ 3x ^{2}\left( x-1\right)\left( x+1\right)-1=\left( x-1\right)\left( x+1\right)\left( x ^{2}+1 \right)}\)

[chlorofil]

Na pałę: wymnożyć i zastosować i zastosować twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu. Potem podzielić żeby znaleźć kolejne rozwiązania.

Oczywiście wymnażać to stosując wzory skróconego mnożenia, konkretnie tutaj widzę:

\(\displaystyle{ (a-b)(a+b)=a^2-b^2}\)

b) w ten sposób wychodzi niemal od razu (4-5 linijek) i nawet dzielić nic nie trzeba, a rozwiązania uzyskuje się momentalnie:

\(\displaystyle{ 3x^2(x-1)(x+1)-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)\\3x^2(x^2-1)-1=(x^2-1)(x^2+1)\\3x^4-3x^2-1=x^4-1\\2x^4-3x^2=0\\x^2(2x^2-3)=0\\x^2(\sqrt 2 x - \sqrt 3)(\sqrt 2 x + \sqrt 3)=0}\)

Przykład a) pozostawiamy czytelnikowi (analogicznie)

[kicpereniek]

Nie jestem pewien czy dobrze wymnożyłem ten przykład a, ale dochodzę potem do postaci \(\displaystyle{ 8x ^{5}-22x ^{3} +11x-2=0}\) i nie wiem co dalej z tym zrobić.

[chlorofil]

Wymnożyłeś dobrze.

No i kicha, bo to równanie nie ma pierwiastków całkowitych ani wymiernych. Można szukać rozwiązań przybliżonych albo bawić się w jakieś próby sprytnego rozpisania tego wielomianu, żeby znaleźć rozwiązania niewymierne.

[kicpereniek]

Żeby nie zakładać nowego tematu, to mam jeszcze pytanie jak zabrać się za przykład:
\(\displaystyle{ \left( x+7\right) ^{5} + 2\left( x+7\right) ^{4} =0}\)

[Lbubsazob]

Wyłącz przed nawias \(\displaystyle{ (x+7)^4}\).