Rozkład wielomianu na czynniki

[mr240760]

Czy te wielomiany można rozłożyć na czynniki bez liczenia delty
\(\displaystyle{ -4x ^{3} -4x ^{2} +3x =0 \\
x ^{3} +4x ^{2} -27x-90 =0}\)

[loitzl9006]

Skorzystaj z tego, że ten drugi da się podzielić przez \(\displaystyle{ \left( x-5 \right)}\).

[mr240760]

Jak na to wpadłeś ,ze przez (x-5)

[loitzl9006]

Wypisujesz listę dzielników wyrazu wolnego \(\displaystyle{ p}\), tzn. listę dzielników liczby \(\displaystyle{ -90}\), potem listę dzielników liczby przy najwyższej potędze wielomianu (listę oznaczam jako \(\displaystyle{ q}\) ) (przy \(\displaystyle{ x ^{3}}\) jest \(\displaystyle{ 1}\)) .

\(\displaystyle{ p = {1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90,-1,-2,-3,...} \\ q={1,-1}}\)

Teraz każda kombinacja \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) jest "podejrzana" o bycie pierwiastkiem wielomianu. Trzeba próbować wstawiać różne kombinacje \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) za \(\displaystyle{ x}\) i sprawdzać czy wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\) . Jeżeli jakaś kombinacja \(\displaystyle{ \frac{p}{q} =a}\) jest pierwiastkiem wielomianu to wniosek, że ten wielomian dzieli się przez \(\displaystyle{ \left( x-a \right)}\) - z twierdzenia Bezouta.

Weźmy kombinację \(\displaystyle{ \frac{p}{q} = \frac{5}{1} =5}\) . Jak podstawisz sobie \(\displaystyle{ x=5}\) i wstawisz to do wielomianu, otrzymasz \(\displaystyle{ 0=0}\) i to znak, że wielomian możesz podzielić przez \(\displaystyle{ \left( x-5 \right)}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ -4x ^{3} -4x ^{2} +3x =0}\)

\(\displaystyle{ -x(4x ^2+4x-3)=0}\)

\(\displaystyle{ -x(4x ^2+6x-2x-3)=0}\)

\(\displaystyle{ -x[2x(2x +3)-(2x+3)]=0}\)

\(\displaystyle{ -x(2x +3)(2x-1)=0}\)