Wykaż nierówność dla każdej liczby rzeczywistej

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 17 paź 2011, o 14:06

Witam. Mam takie zadanie:
Wykaż, że nierówność \(\displaystyle{ x^4+2x^3+3x^2+2x+2 > 0}\) jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ x}\).
Jak to ruszyć? Skoro nie ma miejsc zerowych, to wielomianu nie podzielę. Wiem tyle, że każdy wielomian stopnia większego niż 2 można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego. Tylko w tym wypadku nie wiem jak to zrobić, bo nie mam (bądź nie widzę jak) jak pogrupować. Rozwinąć do wzoru skróconego mnożenia do czwartej potęgi też nie bardzo chyba, nawet jakbym dodał coś od siebie i odjął za nawiasem. Jak więc to zrobić? Proszę o wskazówki i pozdrawiam.

Vax · Post autor: **Vax** » 17 paź 2011, o 14:10

Nasza nierówność jest równoważna \(\displaystyle{ (x^2+x)^2 + (x+1)^2 + x^2 + 1 > 0}\)

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 17 paź 2011, o 14:15

Lub skorzystać z metody Ferrariego i rozłożyć do \(\displaystyle{ (x^2+1)(x^2+2x+2)>0}\), a potem już wniosek jest prosty.

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 17 paź 2011, o 17:57

Czytam na wikipedii o tej metodzie i nie bardzo wiem skąd wziąłeś kamil13151 to, co napisałeś. Mógłbyś mi przybliżyć tą metodę?

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 17 paź 2011, o 18:46

np. tutaj 221758.htm

Dużo jest przykładów na forum.

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 17 paź 2011, o 20:53

Okej, dzięki za pomoc.

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 17 paź 2011, o 21:19

Zrobiłbym jeszcze inaczej. Przedstawić jako

\(\displaystyle{ x^4+2x^3+3x^2+2x+2=x^2(x^2+2x+a)+bx^2+2x+2,\ a+b=3}\)

tak, żeby \(\displaystyle{ x^2+2x+a}\) i \(\displaystyle{ bx^2+2x+2}\) miały wyróżnik ujemny.