Udowodnij, że... wzory Viete'a dla równania 3. stopnia.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie:
Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^3+px^2+qx+r = 0}\), to:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2+x_3 = -p\\x_1 \cdot x_2+x_1 \cdot x_3+x_2 \cdot x_3=q\\ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -r\end{array}}\)

Jak mam to ruszyć? Proszę o wskazówki i pozdrawiam.

[szw1710]

Pomnóż \(\displaystyle{ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}\) i porównaj współczynniki obu wielomianów.

[HaveYouMetTed]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3+px^2+qx+r = 0 \\ (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=0 \end{cases}}\)

Drugie wymnożyć, uporządkować, porównać odpowiednie współczynniki.

tak możesz postępować z wielomianem każdego stopnia (noo może nie każdego ).

[dawid.barracuda]

Dostałem takie coś:
\(\displaystyle{ x^3-x^2(x_1+x_2+x_3)+x(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)}\). Teraz przyrównać współczynniki i coś zauważyć, tak?

[szw1710]

Jeszcze Ci czegoś brakło w tym mnożeniu. Niewątpliwie, trzeba coś zauważyć. Kiedy dwa wielomiany są równe?

[dawid.barracuda]

Kiedy ich współczynniki i wykładniki przy tych samych współczynnikach są równe. Czegoś nie wymnożyłem?

[szw1710]

Tak. O czymś zapomniałeś w tym mnożeniu. Sprawdź spokojnie.

[dawid.barracuda]

Nie przepisałem tego jak liczyłem na kartce: \(\displaystyle{ -x_1x_2x_3}\). Tego brakuje?-- 16 paź 2011, o 13:14 --Więc jest: \(\displaystyle{ x^3-x^2(x_1+x_2+x_3)+x(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)-x_1x_2x_3}\)

[szw1710]

Teraz rachunki OK. Porównaj współczynniki jak radziłem. Wyłączam się do wieczora.

[dawid.barracuda]

\(\displaystyle{ x^3-x^2(x_1+x_2+x_3)+x(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)-x_1x_2x_3 = x^3+px^2+qx+r}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} -(x_1+x_2+x_3) = p\\x_1 \cdot x_2+x_1 \cdot x_3+x_2 \cdot x_3=q\\ -x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = r\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2+x_3 = -p\\x_1 \cdot x_2+x_1 \cdot x_3+x_2 \cdot x_3=q\\ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -r\end{array}}\)

cbdu. Tyle wystarczy? Wg mnie tak.

[szw1710]

Według mnie też A dokładnie - to jest precyzyjne rozumowanie.

[dawid.barracuda]

No i super Widziałem w podręczniku troszkę inną wersję tego zadania, z tą różnicą, że współczynnik był jeszcze przy \(\displaystyle{ x^3}\), ale tak na dobrą sprawę to wiele to nie zmienia, prawa strona układu będzie jeszcze podzielona przez to \(\displaystyle{ a}\). Dzięki za pomoc i pozdrawiam.