Wielomian - parametry...

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Wielomian - parametry...

Post autor: dawid.barracuda »

Witam. Mam takie zadanie:
Wielomian \(\displaystyle{ W(x) = a(x-p)^2(x+q)}\), gdzie \(\displaystyle{ a \neq 0}\), ma dwa pierwiastki \(\displaystyle{ 2}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\), przy czym drugi z nich jest pierwiastkiem dwukrotnym. Ponadto, dla argumentu \(\displaystyle{ (-2)}\) wielomian przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 36}\).
a) Wyznacz wartości parametrów \(\displaystyle{ a, p,q}\);
b) Dla wyznaczonych wartości \(\displaystyle{ a, p, q}\) rozwiąż równanie \(\displaystyle{ W(x) = 2}\);
c) Dla wyznaczonych wartości \(\displaystyle{ a,p,q}\) rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ W(x) \le 0}\).

Mój problem jest przy podpunkcie a). Czy jest jakiś szybszy, sprytniejszy sposób na zrobienie tego niż układ równań z trzema niewiadomymi? W dodatku nie są to równania postaci liniowej. Wymnożyłem to sobie i paskudnie wygląda taki układ. Stąd pytanie: czy można szybciej, łatwiej, przyjemniej? Dwa ostatnie podpunkty rozumiem, potrzebuję tylko pomocy w podpunkcie a). Proszę o wskazówki i pozdrawiam.
Awatar użytkownika
cosinus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

Wielomian - parametry...

Post autor: cosinus90 »

Skoro to jest postać iloczynowa, a masz podane pierwiastki oraz ich krotność, to chyba nie jest wielką trudnością odgadnięcie wartości parametrów \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) ? Wówczas parametr \(\displaystyle{ a}\) będzie dziecinnie łatwy do wyznaczenia.
Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Wielomian - parametry...

Post autor: dawid.barracuda »

No właśnie tak próbowałem czegoś się doszukać, ale chyba nie potrafię. Proszę o dalszą podpowiedź
Próbowałem na tej zasadzie:
\(\displaystyle{ 0 = a(2-p)^2(2+q)}\) Ale pewnie nie jest to sprytne.
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Wielomian - parametry...

Post autor: kamil13151 »

\(\displaystyle{ W(x) = a(x-1)^2(x-2)}\)
Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Wielomian - parametry...

Post autor: dawid.barracuda »

O matko, faktycznie. Przekombinowałem znowu wychodzi na to. I teraz automatycznie parametrami p i q są: 1 i -2? Nie jestem pewny dlaczego tak się dzieje, proszę o wyjaśnienie i wyrozumiałość.
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Wielomian - parametry...

Post autor: kamil13151 »

Zgadza się, teraz tylko obliczenie \(\displaystyle{ a}\) Ci pozostaje.
Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1766
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Wielomian - parametry...

Post autor: dawid.barracuda »

\(\displaystyle{ a}\) wychodzi \(\displaystyle{ -1}\). Mogę stwierdzić, że parametry tyle wynoszą, bo mam wielomian zapisany tj. na początku zadania, tylko w miejscach \(\displaystyle{ p}\)i \(\displaystyle{ q}\) mam już konkretne liczby, tak?
Awatar użytkownika
cosinus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

Wielomian - parametry...

Post autor: cosinus90 »

Tak.
ODPOWIEDZ