Wielomian - parametry...
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Wielomian - parametry...
Witam. Mam takie zadanie:
Wielomian \(\displaystyle{ W(x) = a(x-p)^2(x+q)}\), gdzie \(\displaystyle{ a \neq 0}\), ma dwa pierwiastki \(\displaystyle{ 2}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\), przy czym drugi z nich jest pierwiastkiem dwukrotnym. Ponadto, dla argumentu \(\displaystyle{ (-2)}\) wielomian przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 36}\).
a) Wyznacz wartości parametrów \(\displaystyle{ a, p,q}\);
b) Dla wyznaczonych wartości \(\displaystyle{ a, p, q}\) rozwiąż równanie \(\displaystyle{ W(x) = 2}\);
c) Dla wyznaczonych wartości \(\displaystyle{ a,p,q}\) rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ W(x) \le 0}\).
Mój problem jest przy podpunkcie a). Czy jest jakiś szybszy, sprytniejszy sposób na zrobienie tego niż układ równań z trzema niewiadomymi? W dodatku nie są to równania postaci liniowej. Wymnożyłem to sobie i paskudnie wygląda taki układ. Stąd pytanie: czy można szybciej, łatwiej, przyjemniej? Dwa ostatnie podpunkty rozumiem, potrzebuję tylko pomocy w podpunkcie a). Proszę o wskazówki i pozdrawiam.
Wielomian \(\displaystyle{ W(x) = a(x-p)^2(x+q)}\), gdzie \(\displaystyle{ a \neq 0}\), ma dwa pierwiastki \(\displaystyle{ 2}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\), przy czym drugi z nich jest pierwiastkiem dwukrotnym. Ponadto, dla argumentu \(\displaystyle{ (-2)}\) wielomian przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 36}\).
a) Wyznacz wartości parametrów \(\displaystyle{ a, p,q}\);
b) Dla wyznaczonych wartości \(\displaystyle{ a, p, q}\) rozwiąż równanie \(\displaystyle{ W(x) = 2}\);
c) Dla wyznaczonych wartości \(\displaystyle{ a,p,q}\) rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ W(x) \le 0}\).
Mój problem jest przy podpunkcie a). Czy jest jakiś szybszy, sprytniejszy sposób na zrobienie tego niż układ równań z trzema niewiadomymi? W dodatku nie są to równania postaci liniowej. Wymnożyłem to sobie i paskudnie wygląda taki układ. Stąd pytanie: czy można szybciej, łatwiej, przyjemniej? Dwa ostatnie podpunkty rozumiem, potrzebuję tylko pomocy w podpunkcie a). Proszę o wskazówki i pozdrawiam.
- cosinus90
- Użytkownik
- Posty: 5030
- Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 777 razy
Wielomian - parametry...
Skoro to jest postać iloczynowa, a masz podane pierwiastki oraz ich krotność, to chyba nie jest wielką trudnością odgadnięcie wartości parametrów \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) ? Wówczas parametr \(\displaystyle{ a}\) będzie dziecinnie łatwy do wyznaczenia.
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Wielomian - parametry...
No właśnie tak próbowałem czegoś się doszukać, ale chyba nie potrafię. Proszę o dalszą podpowiedź
Próbowałem na tej zasadzie:
\(\displaystyle{ 0 = a(2-p)^2(2+q)}\) Ale pewnie nie jest to sprytne.
Próbowałem na tej zasadzie:
\(\displaystyle{ 0 = a(2-p)^2(2+q)}\) Ale pewnie nie jest to sprytne.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Wielomian - parametry...
O matko, faktycznie. Przekombinowałem znowu wychodzi na to. I teraz automatycznie parametrami p i q są: 1 i -2? Nie jestem pewny dlaczego tak się dzieje, proszę o wyjaśnienie i wyrozumiałość.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Wielomian - parametry...
\(\displaystyle{ a}\) wychodzi \(\displaystyle{ -1}\). Mogę stwierdzić, że parametry tyle wynoszą, bo mam wielomian zapisany tj. na początku zadania, tylko w miejscach \(\displaystyle{ p}\)i \(\displaystyle{ q}\) mam już konkretne liczby, tak?