Postać iloczynowa wielomianu
Postać iloczynowa wielomianu
Czy istnieje coś takiego jak postać iloczynowa wielomianu wiekszego niz drugiego stopnia \(\displaystyle{ a(x-b)(x-c)}\)?
Ostatnio zmieniony 14 paź 2011, o 23:42 przez Anonymous, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Zapomniałeś o LaTeX-u? 120 postów to dużo. Weź sobie do serca.
Powód: Zapomniałeś o LaTeX-u? 120 postów to dużo. Weź sobie do serca.
-
szw1710
Postać iloczynowa wielomianu
Oczywiście. Jeśli \(\displaystyle{ x_1,\dots,x_n}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0,}\) to \(\displaystyle{ w(x)=a_n(x-x_1)\dots(x-x_n).}\) Wynika to natychmiast z twierdzenia Bezouta.
Ogólnie mamy twierdzenie, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych da się przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego. Więc jeśli wielomian ma pierwiastki, to będziemy mieli w rozkładzie wyrażenia liniowe. Pozostanie wielomian nierozkładalny. Albo będzie stały, albo stopnia parzystego, zatem on rozłoży się na iloczyn trójmianów nierozkładalnych. Wspomniane twierdzenie nie jest trywialne. Wynika z tzw. zasadniczego twierdzenia algebry. A to bardzo poważne i sławne twierdzenie.
Ogólnie mamy twierdzenie, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych da się przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego. Więc jeśli wielomian ma pierwiastki, to będziemy mieli w rozkładzie wyrażenia liniowe. Pozostanie wielomian nierozkładalny. Albo będzie stały, albo stopnia parzystego, zatem on rozłoży się na iloczyn trójmianów nierozkładalnych. Wspomniane twierdzenie nie jest trywialne. Wynika z tzw. zasadniczego twierdzenia algebry. A to bardzo poważne i sławne twierdzenie.
Postać iloczynowa wielomianu
Dzięki wielkie za wyjaśnienie, niestety w szkole tak dogłębnie tego nie tłumaczą a ja niestety jestem bardzo dociekliwy : (
Czyli jeśli wiem, że jakieś liczby załóżmy a i b są pierwiastkami(jednokrotnymi) wielomianu stopnia \(\displaystyle{ 5}\)
to mogę go zapisać w postaci \(\displaystyle{ (x-a)(x-b)(x^2....)}\)? a jeśli współczynnik kierunkowy będzie różny od \(\displaystyle{ 1}\) to mogę go wyciągnąć z \(\displaystyle{ (x^2....)}\) przed nawias?
Kolejne pytanie, jeśli znam wszystkie pierwiastki wielomianu np. 4 stopnia, to mogę go zapisać w postaci \(\displaystyle{ a(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)}\) ?
Czyli jeśli wiem, że jakieś liczby załóżmy a i b są pierwiastkami(jednokrotnymi) wielomianu stopnia \(\displaystyle{ 5}\)
to mogę go zapisać w postaci \(\displaystyle{ (x-a)(x-b)(x^2....)}\)? a jeśli współczynnik kierunkowy będzie różny od \(\displaystyle{ 1}\) to mogę go wyciągnąć z \(\displaystyle{ (x^2....)}\) przed nawias?
Kolejne pytanie, jeśli znam wszystkie pierwiastki wielomianu np. 4 stopnia, to mogę go zapisać w postaci \(\displaystyle{ a(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)}\) ?
-
pini
- Użytkownik
- Posty: 347
- Rejestracja: 8 paź 2011, o 00:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 223 razy
- Pomógł: 1 raz
Postać iloczynowa wielomianu
1) takmłodyM pisze: a jeśli współczynnik kierunkowy będzie różny od \(\displaystyle{ 1}\) to mogę go wyciągnąć z \(\displaystyle{ (x^2....)}\) przed nawias?
Kolejne pytanie, jeśli znam wszystkie pierwiastki wielomianu np. 4 stopnia, to mogę go zapisać w postaci \(\displaystyle{ a(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)}\) ?
2) oczywiście
-
szw1710
Postać iloczynowa wielomianu
Ostatnie pytanie - tak. Drugie pytanie - tak, ale tam będzie wtedy wielomian stopnia 3.
Ty masz jutro wolne, ja idę do pracy. Na tym więc kończę dyskusję, być może ktoś młodszy będzie miał ochotę kontynuować o tak późnej porze. Ja mogę do rozmowy wrócić jutro. Dobranoc.
Ty masz jutro wolne, ja idę do pracy. Na tym więc kończę dyskusję, być może ktoś młodszy będzie miał ochotę kontynuować o tak późnej porze. Ja mogę do rozmowy wrócić jutro. Dobranoc.