Zapisz wielomian jako iloczyn

pini · Post autor: **pini** » 14 paź 2011, o 22:54

Zapisz wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{4}+2x ^{3}+5x ^{2}+4x+3}\) jako iloczyn dwóch wielomianów drugiego stopnia o współczynnikach całkowitych dodatnich.

zapisałam \(\displaystyle{ W(x)=(x ^{2}+bx+c)(x ^{2}+dx+e)}\)
pozdrawiam.

chlorofil · Post autor: **chlorofil** » 14 paź 2011, o 22:58

I fajnie. Teraz wymnóż to co zapisałaś i porównaj współczynniki przy odpowiednich potęgach.

pini · Post autor: **pini** » 14 paź 2011, o 23:07

Chlorofil jeśli możesz to proszę rozpisz to do końca, bo liczyłam tym sposobem i gdzieś się gubię.

chlorofil · Post autor: **chlorofil** » 14 paź 2011, o 23:09

\(\displaystyle{ W(x) = x^4 + (b + d)x^3 + (bd + c + e)x^2 + (be + cd)x + ce}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} c \cdot e = 3 \\ be + cd = 4 \\ bd + c + e = 5 \\ b + d = 2 \end{cases}}\)

Teraz zgadujemy, że:

\(\displaystyle{ c = 1, e = 3}\)

(możemy przyjąć odwrotnie, ze względu na symetrię równań)

Dalej już bardzo łatwo wyznaczysz \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ d}\). Ostatecznie:

\(\displaystyle{ W(x) = (x^2+x+1)(x^2 + x + 3)}\)

pini · Post autor: **pini** » 14 paź 2011, o 23:10

Dzięki Już wszystko wiem.

chlorofil · Post autor: **chlorofil** » 14 paź 2011, o 23:12

Bo iloczyn ma się równać 3. Przyjąłem, że jedna z tych liczb wynosi 1. Taka intuicja matematyczna. Jeśli okazałaby to się nieprawda, to z pozostałych równań nie dostalibyśmy rozwiązań. Ale dostaliśmy, więc wszystko ok.

pini · Post autor: **pini** » 14 paź 2011, o 23:13

chlorofil pisze:Bo iloczyn ma się równać 3. Przyjąłem, że jedna z tych liczb wynosi 1. Taka intuicja matematyczna. Jeśli okazałaby to się nieprawda, to z pozostałych równań nie dostalibyśmy rozwiązań. Ale dostaliśmy, więc wszystko ok.

Nie doczytałam treści zad.-- 14 paź 2011, o 23:15 --Chociaż c mogłoby wynosić 3, a e=1, prawda?

chlorofil · Post autor: **chlorofil** » 14 paź 2011, o 23:16

pini pisze:Chociaż c mogłoby wynosić 3, a e=1, prawda?

Tak, ale wtedy, ze względu na symetrię, i tak dostałabyś ten sam rozkład.

pini · Post autor: **pini** » 14 paź 2011, o 23:19

Z ciekawości zapytam: kiedy nie byłby symetryczny? Jakie znaczenie miałoby to dla moich współczynników?

chlorofil · Post autor: **chlorofil** » 14 paź 2011, o 23:21

Zawsze będzie, bo wyznaczenie jednego czynnika jest równoznaczne z wyznaczeniem drugiego:

\(\displaystyle{ W(x) = P(x) \cdot Q(x)}\)

pini · Post autor: **pini** » 14 paź 2011, o 23:23

Dzięki.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 16 paź 2011, o 01:38

chlorofil, czy ja wiem chyba lepiej jest sprowadzić ten wielomian do postaci różnicy kwadratów
a później ze wzoru skróconego mnożenia otrzymujemy iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych
Sposób przedstawiony w powyższych wiadomościach działa dość dobrze dla wielomianów

\(\displaystyle{ x^{4}+px^2+qx+r}\)

w przypadku innych wielomianów układ się skomplikuje
a zgadywanie nie zawsze działa