znajdź pierwiastki wielomianu

pini · Post autor: **pini** » 14 paź 2011, o 22:31

Jednym z pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=px ^{3}-7x ^{2}-28x+q}\), gdzie p i q są liczbami pierwszymi, jest \(\displaystyle{ -2,5}\). Znajdź pozostałe pierwiastki wielomianu.

Napisałam sobie wielomian w postaci: \(\displaystyle{ p(x+2,5)(x-x _{1})(x-x _{2})}\) i próbowałam porównać współczynniki, niestety bez rezultatów.
pozdrawiam.

Funktor · Post autor: **Funktor** » 14 paź 2011, o 22:37

A na czym dokładnie utknęłaś w tym rozwiązaniu ?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 14 paź 2011, o 22:38

Tw o wymiernym pierwiastku wielomianu ma pomóc.

pini · Post autor: **pini** » 14 paź 2011, o 22:42

\(\displaystyle{ -p(x _{1}+x _{2}+2,5)=-7}\)
\(\displaystyle{ p(x _{1} \cdot x _{2}-2,5x _{2}-2,5x _{1})=-28}\)
\(\displaystyle{ p(2,5 \cdot x _{1} \cdot x _{2})=q}\)
mam problem z rozwiązaniem tego

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 14 paź 2011, o 22:44

Przeczytaj mój poprzedni.

pini · Post autor: **pini** » 14 paź 2011, o 22:47

Próbowałam także z tego tw. \(\displaystyle{ W(-1)=0, W(1)=0, W(- \frac{1}{q})=0, W( \frac{1}{q})=0, W(-q)=0, W(q)=0}\) i też nic nie wychodzi.-- 14 paź 2011, o 22:50 --piasek101 czy to jest to tw. o pierwiastkach wymiernych wielomianu?

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 14 paź 2011, o 22:53

Pini , kolega piasek namawia cię żebyś skorzystała z faktu:

jeżeli ułamek nieskracalny \(\displaystyle{ \frac{p}{q} \neq 0}\) jest pierwiastkiem równania o wspólczynnikach całkowitych \(\displaystyle{ a _{n}x ^{n}+...+a _{1}x+a _{0}=0 , a _{0} \neq 0}\) to \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ a _{0}}\) , \(\displaystyle{ q}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ a _{n}}\) .

u ciebie \(\displaystyle{ p,q}\) liczby pierwsze co znakomicie upraszcza sprawę

pini · Post autor: **pini** » 14 paź 2011, o 22:56

Psiaczek czy mógłbyś proszę to rozpisać dla mojego przykładu.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 14 paź 2011, o 22:56

Tak - potwierdzam.
Jeśli ma wymierny to jest on postaci \(\displaystyle{ \frac{q}{p}}\) lub \(\displaystyle{ -\frac{q}{p}}\) (to wynika z tw o wymiernym pierwiastku)

Tutaj (p) i (q) są pierwsze (czyli też naturalne) zatem znane (chyba).

pini · Post autor: **pini** » 14 paź 2011, o 23:04

piasek101 pisze: Jeśli ma wymierny to jest on postaci \(\displaystyle{ \frac{q}{p}}\) lub \(\displaystyle{ -\frac{q}{p}}\) (to wynika z tw o wymiernym pierwiastku)

Tutaj (p) i (q) są pierwsze (czyli też naturalne) zatem znane (chyba).

Zatem \(\displaystyle{ W(-1)=0, W(1)=0, W(-q)=0, W(q)=0, W(- \frac{q}{p})=0, W( \frac{q}{p})=0}\). Tylko co teraz należy z tym zrobić?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 14 paź 2011, o 23:08

Eeee tam.

\(\displaystyle{ -\frac{q}{p}=-2,5}\) z tego mamy jednoznacznie (bo pierwsze) (q) i (p).

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 14 paź 2011, o 23:11

Sorry Pini trochę namotałem kolizja oznaczeń moje p,q sa trochę inne niz twoje p,q z zadania.

Ale tłumacząc po ludzku:

chodzi o to że twój pierwiastek -2.5 przedstawia się jako ułamek nieskracalny \(\displaystyle{ \frac{-5}{2}}\)

czyli -5 jest dzielnikiem twojego q, 2 jest dzielnikiem twojego p.

Ale p,q liczby pierwsze , więc nie mają dzielników właściwych, czyli co z tego wynika?

pini · Post autor: **pini** » 14 paź 2011, o 23:17

\(\displaystyle{ q=5, p=2}\)?

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 14 paź 2011, o 23:28

pini pisze:\(\displaystyle{ q=5, p=2}\)?

i wtedy masz wielomian \(\displaystyle{ 2x^3-7x^2-28x+5=(2x+5)(x^2-6x+1)}\)

który ma dwa pozostałe pierwiastki \(\displaystyle{ 3- 2\sqrt{2},3+ 2\sqrt{2}}\)

pini · Post autor: **pini** » 14 paź 2011, o 23:30

Dzięki