Dla jakiego p jeden z pierwiastkow wielomianu...

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Bobzone
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 5 paź 2011, o 00:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

Dla jakiego p jeden z pierwiastkow wielomianu...

Post autor: Bobzone »

Dany jest wielomian

\(\displaystyle{ W(x) = x ^{3} - (p+3)x ^{2} - 4x}\).

Dla jakiej wartości parametru p jeden z pierwiastków wielomianu jest średnią arytmetyczną pozostałych pierwiastków?

Krążę i krążę i nic mi to nie daje. Z góry dziękuję za wszelką pomoc.
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Dla jakiego p jeden z pierwiastkow wielomianu...

Post autor: anna_ »

Podpowiedź: jeden z pierwiastków to \(\displaystyle{ 0}\)
Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 475 razy

Dla jakiego p jeden z pierwiastkow wielomianu...

Post autor: Psiaczek »

\(\displaystyle{ W(x)=x(x^2-(p+3)x-4)}\)

Jeden z pierwiastków to zero, żeby zachodziło to co jest podane w zadaniu to musisz dwa pomocnicze zagadnienia rozważyć dotyczące równania:
\(\displaystyle{ x^2-(p+3)x-4=0}\)

1)dla jakiej wartości parametru p ma ono dwa pierwiastki będące liczbami przeciwnymi?

2)dla jakiej wartości parametru p ma ono dwa pierwiastki, z których jeden jest dwa razy większy od drugiego?
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Dla jakiego p jeden z pierwiastkow wielomianu...

Post autor: anna_ »

Psiaczek pisze: 2)dla jakiej wartości parametru p ma ono dwa pierwiastki, z których jeden jest dwa razy większy od drugiego?
2. sprowadza się do:
\(\displaystyle{ \frac{x_1+0}{2}=x_2 \Rightarrow x_1=2x_2}\)

Ze wzorów Viete'a
\(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2= \frac{c}{a}= \frac{-4}{1} =-4}\)

i jednocześnie
\(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2=2x_2 \cdot x_2=2x^2_2>0}\)

mamy sprzeczność. Warunek drugi nie będzie zachodził.
Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 475 razy

Dla jakiego p jeden z pierwiastkow wielomianu...

Post autor: Psiaczek »

No a jeśli chodzi o punkt pierwszy to suma pierwiastków musi być równa zeru, czyli jedynym kandydatem jest
\(\displaystyle{ p=-3}\) i faktycznie równanie \(\displaystyle{ x^3-4x=0}\) ma pierwiastki \(\displaystyle{ -2,0,2}\) . Idę spać
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Dla jakiego p jeden z pierwiastkow wielomianu...

Post autor: anna_ »

Oczywiście \(\displaystyle{ \Delta}\) trójmianu kwadratowego musi być \(\displaystyle{ >0}\)
ODPOWIEDZ