Wykaż, że ... Podzielność wielomianu.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie:
Wykaż, że dla każdego \(\displaystyle{ N \in N_+}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ (x - r)}\), jeśli:

a) \(\displaystyle{ W(x) = nx ^{n+1} - (n-1)x^n - 1, r = 1}\);

b) \(\displaystyle{ W(x) = x ^{2n-1} + 1, r = -1}\);

c) \(\displaystyle{ W(x) = x ^{2n-1} - 1, r = 1}\).

Jak się za to zabrać? Jest to zadanie na dowodzenie, a to moja pięta achillesowa niestety. Proszę o wskazówki i pozdrawiam.

[Psiaczek]

Znasz twierdzenie Bezouta? Podstawiasz podane wartości r do wielomianów i wszędzie ładnie wychodzą zera, czyli się dzielą przez odpowiednie dwumiany, np. w pierwszym

\(\displaystyle{ W(1)=n-(n-1)-1=0}\)

[dawid.barracuda]

Znam to twierdzenie, ale nie skojarzyłem tego. To jest koniec dowodu?-- 13 paź 2011, o 23:27 --Czyli jeżeli podstawię za \(\displaystyle{ x}\) liczbę \(\displaystyle{ r}\) i cały wielomian mi się wyzeruje znaczy to tyle, że co bym nie podstawił za \(\displaystyle{ n}\) to będzie ten wielomian podzielny przez \(\displaystyle{ r}\)?

[Psiaczek]

Znam to twierdzenie, ale nie skojarzyłem tego. To jest koniec dowodu?

"liczba r jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy gdy W(x) jest podzielny przez dwumian (x-r)"

czyli koniec

[dawid.barracuda]

No dobra, ale chyba nie rozumiem jednej rzeczy: jak podstawiam \(\displaystyle{ r}\) za \(\displaystyle{ x}\) to co podstawiam za \(\displaystyle{ n}\) w tym momencie jeżeli w ogóle coś podstawiam? Bo nie wiem dlaczego wykładniki się uprościły trochę.

[major37]

Za x tylko podstawiasz. I jeżeli jeden podnosisz do którejś potęgi to na pewno da Ci jeden:)

[dawid.barracuda]

No właśnie tak patrzyłem wczoraj jak już komputer wyłączyłem i podobnie pomyślałem Zapis \(\displaystyle{ 2n - 1}\) to zapis liczby nieparzystej, tak?-- 15 paź 2011, o 12:41 --Odnośnie: \(\displaystyle{ W(1)=n-(n-1)-1=0}\)
Co się stało z potęgami?