Wykaż, że liczba jest pierwiastkiem dwukrotnym...

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie:
Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ r}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\), jeśli:
a) \(\displaystyle{ W(x) = x^4-2x^3+3x^2-4x+2}\)
\(\displaystyle{ r = 1}\)

Pytanie: Czy mogę to wykonać tj. poniżej? Proszę o wskazówki i pozdrawiam.

Korzystam z pochodnych: jeśli liczba r jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) to jest pierwiastkiem jednokrotnym jego pochodnej, a druga pochodna nie równa się zeru dla \(\displaystyle{ x = r = 1}\).

\(\displaystyle{ W'(x) = 4x^3-6x^2+6x-4}\)

Po pogrupowaniu wyrazów i rozkładzie na czynniki:
\(\displaystyle{ W'(x) = (x-1)(4x^2-2x+4)}\) Pierwiastek jednokrotny.

Druga pochodna:
\(\displaystyle{ W''(x) = 12x^2-12x+6}\)

dla W'(1) = 6

Liczba \(\displaystyle{ r = 1}\) jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\), cbdu.

[Qń]

Korzystam z pochodnych: jeśli liczba r jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) to jest pierwiastkiem jednokrotnym jego pochodnej, a druga pochodna nie równa się zeru dla \(\displaystyle{ x = r = 1}\).

Ale Ty potrzebujesz to twierdzenie w drugą stronę, tzn.: jeśli \(\displaystyle{ W(1)=W'(1)=0\neq W''(1)}\), to jedynka jest dwukrotnym pierwiastkiem.

Niepotrzebnie też grupujesz wyrazy, wystarczy przecież poobliczać wartości \(\displaystyle{ W(1),W'(1),W''(1)}\). A grupowanie może być przydatne w innym sposobie rozwiązania, tzn. w wykazaniu, że wielomian \(\displaystyle{ W}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^2-2x+1}\).
Q.

[dawid.barracuda]

Rozumiem. A proszę mi powiedzieć, czy jeśli miałbym sprawdzić pierwiastek np. trzykrotny, to czy wtedy liczę trzecią pochodną, czterokrotny to czwartą, itd. i dopiero wtedy sprawdzam czy nie są równe zero? Czy dla wszystkich funkcji liczę drugą tylko?