Witam. Mam takie zadanie:
Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ r}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\), jeśli:
a) \(\displaystyle{ W(x) = x^4-2x^3+3x^2-4x+2}\)
\(\displaystyle{ r = 1}\)
Pytanie: Czy mogę to wykonać tj. poniżej? Proszę o wskazówki i pozdrawiam.
Korzystam z pochodnych: jeśli liczba r jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) to jest pierwiastkiem jednokrotnym jego pochodnej, a druga pochodna nie równa się zeru dla \(\displaystyle{ x = r = 1}\).
\(\displaystyle{ W'(x) = 4x^3-6x^2+6x-4}\)
Po pogrupowaniu wyrazów i rozkładzie na czynniki:
\(\displaystyle{ W'(x) = (x-1)(4x^2-2x+4)}\) Pierwiastek jednokrotny.
Druga pochodna:
\(\displaystyle{ W''(x) = 12x^2-12x+6}\)
dla W'(1) = 6
Liczba \(\displaystyle{ r = 1}\) jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\), cbdu.
Wykaż, że liczba jest pierwiastkiem dwukrotnym...
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wykaż, że liczba jest pierwiastkiem dwukrotnym...
Ale Ty potrzebujesz to twierdzenie w drugą stronę, tzn.: jeśli \(\displaystyle{ W(1)=W'(1)=0\neq W''(1)}\), to jedynka jest dwukrotnym pierwiastkiem.dawid.barracuda pisze:Korzystam z pochodnych: jeśli liczba r jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) to jest pierwiastkiem jednokrotnym jego pochodnej, a druga pochodna nie równa się zeru dla \(\displaystyle{ x = r = 1}\).
Niepotrzebnie też grupujesz wyrazy, wystarczy przecież poobliczać wartości \(\displaystyle{ W(1),W'(1),W''(1)}\). A grupowanie może być przydatne w innym sposobie rozwiązania, tzn. w wykazaniu, że wielomian \(\displaystyle{ W}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^2-2x+1}\).
Q.
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Wykaż, że liczba jest pierwiastkiem dwukrotnym...
Rozumiem. A proszę mi powiedzieć, czy jeśli miałbym sprawdzić pierwiastek np. trzykrotny, to czy wtedy liczę trzecią pochodną, czterokrotny to czwartą, itd. i dopiero wtedy sprawdzam czy nie są równe zero? Czy dla wszystkich funkcji liczę drugą tylko?