Dwa klasyczne zad., Oblicz a, rozwiąż uw

[Zielinsky]

1) Liczby \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ x=2}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=ax^{4}+2x^{3}-3ax^{2}+2ax-6x+4}\)
Wiedząc że wielomian ten jest kwadratem wielomianu stopnia 2go oblicz a.

2) Rozwiąż:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+xy+y=13 \\ 2(x+y)^{2}+x^{2}y+xy^{2}+30=0 \end{cases}}\)

[piasek101]

1) Liczby \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ x=2}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=ax^{4}+2x^{3}-3ax^{2}+2ax-6x+4}\)
Wiedząc że wielomian ten jest kwadratem wielomianu stopnia 2go oblicz a.

Raczej było inne.

[kamil13151]

1) Liczby \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ x=2}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=ax^{4}+2x^{3}-3ax^{2}+2ax-6x+4}\)
Wiedząc że wielomian ten jest kwadratem wielomianu stopnia 2go oblicz a.

Jedno z drugim się wyklucza, skoro \(\displaystyle{ W(x)}\) ma być wielomianem drugiego stopnia to musi zniknąć potęga \(\displaystyle{ x^4}\) i \(\displaystyle{ x^3}\), a \(\displaystyle{ x^4}\) zniknie dla \(\displaystyle{ a=0}\), ale zauważ, że wtedy też zniknie \(\displaystyle{ x^2}\), także to nie będzie wielomian drugiego stopnia.

2) Metoda podstawiania \(\displaystyle{ t=xy}\) i \(\displaystyle{ s=x+y}\).

[piasek101]

W tym pierwszym był podany inny pierwiastek - ale to autor powinien poprawić zadanie.

Jedno z drugim się wyklucza, skoro \(\displaystyle{ W(x)}\) ma być wielomianem drugiego stopnia to musi zniknąć

Tego nie było w treści.

[Zielinsky]

Jedno z drugim się wyklucza, skoro W(x) ma być wielomianem drugiego stopnia to musi zniknąć

Istotnie tego w treści nie było, mianowicie W(x) ma być kwadratem wielomianu stopnia drugiego, co zmienia postać rzeczy. Przepraszam 2 nie jest pierwiastkiem lecz -2.

[kamil13151]

Ah... nie doczytałem, że ma być kwadratem...

[Marcinek665]

2. Dokonajmy podstawienia: \(\displaystyle{ a=x+y}\), \(\displaystyle{ b=xy}\). Układ przyjmie postać:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=13 \\ 2a^2 + ab + 30 = 0 \end{cases}}\)

Z pierwszego wyciągamy \(\displaystyle{ b=13-a}\) i wstawiamy do drugiego. Dostaniemy:

\(\displaystyle{ 2a^2 + a(13-a) + 30 = 0}\)

\(\displaystyle{ a^2 + 13a + 30 = 0}\)

(Równanie kwadratowe, delta i te sprawy):

\(\displaystyle{ a=-3}\) lub \(\displaystyle{ a=-10}\).

Więc

\(\displaystyle{ x+y=-3}\) lub \(\displaystyle{ x+y=-10}\).

Rozpatrz obydwa te przypadki i układ szybko padnie.

[piasek101]

Zatem 1 :

\(\displaystyle{ W(x)=[b(x-1)(x+2)]^2}\) (powinieneś wiedzieć - chyba - jak się ma (b) do (a))