Wartości parametrów... podzielność wielomianów.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie: (3.40, Kłaczkow, cz. II)
Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\), jeśli:

a) \(\displaystyle{ W(x) = x^{4} - 2x^{3} + ax^{2} - 3x + b}\)

b) \(\displaystyle{ P(x) = x^{2} - 3x + 3}\)

Sprawę utrudnia mi fakt, że wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) jest nierozkładalny na czynniki. Poprzednie zadanie tego typu zrobiłem od ręki, ale każdy dzielnik się ładnie rozkładał, tu mam problem. Jak ruszyć to zadanie? Proszę o wskazówki i pozdrawiam.

[anna_]

Podziel pisemnie i przyrównaj odpowiednie współczynniki występujące w reszcie do zera.

o ile się nie pomyliłam reszta będzie postaci:

\(\displaystyle{ 3x(a - 2)+b - 3a}\)
czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} a - 2=0 \\ b - 3a=0 \end{cases}}\)

[dawid.barracuda]

Podzielić podzieliłem, ale jak na to spojrzałem to doszedłem do wniosku, że chyba nie o to chodzi, a tu proszę A jak w przypadku:

\(\displaystyle{ W(x) = x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+3x-9}\)

\(\displaystyle{ P(x) = (x+3)^{2}}\)

Wychodzi mi równanie z dwiema niewiadomymi. Jak to rozwiązać?

[piasek101]

Tu możesz podzielić - reszta ma być wielomianem zerowym.

Możesz też podzielić najpierw przez \(\displaystyle{ (x+3)}\) - dostaniesz jedną resztę; potem wynik przez \(\displaystyle{ (x+3)}\) będzie druga reszta.

[kamil13151]

dawid.barracuda, ostatnio z pochodnymi robiliśmy coś podobnego, pamiętasz?

[dawid.barracuda]

No jasne, że pamiętam, dzięki temu dostałem celujący stopień na lekcji, dzięki ogromne za to Liczyliśmy dla jakich wartości parametru liczba będzie pierwiastkiem wielokrotnym. Ale nie wiedziałem, że można to tu zastosować. Jak by to wyglądało? Tak samo jak wcześniej?-- 10 paź 2011, o 17:57 --Jak tak teraz patrzę, to to chyba to samo. -3 jest pierwiastkiem wielokrotnym, nie?

[piasek101]

Tu W(x) ma mieć pierwiastek podwójny (-3).

[kamil13151]

Twierdzenie Bezout'a. Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ P(x)}\) wtedy i tylko wtedy kiedy pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\) są również pierwiastkami \(\displaystyle{ W(x)}\).

Co do 1) to napiszę jeszcze jak można przy pomocy liczb zespolonych, piszę to, żeby siebie sprawdzić czy dobrze robię, także proszę o sprawdzenie .

\(\displaystyle{ P(x) = x^{2} - 3x + 3 \\
x= \frac{3-i \sqrt{3} }{2} \vee x= \frac{3+i \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(\frac{3-i \sqrt{3} }{2}) = \frac{1}{2}\left( 3-3i \sqrt{3} \right)a+b+3i \sqrt{3}-9=0 \\ W(\frac{3+i \sqrt{3} }{2}) = \frac{1}{2}\left( 3+3i \sqrt{3} \right)a+b-3i \sqrt{3}-9=0 \end{cases}}\)
Zauważamy, że musimy zredukować \(\displaystyle{ i}\) i to się stanie tylko dla \(\displaystyle{ a=2}\), resztę przyrównujemy do zera i mamy \(\displaystyle{ b=6}\).

Gratulacje z szóstki .

[dawid.barracuda]

Policzyłem pochodnymi ten przykład drugi i wyszło. Żebym to ja umiał liczby zespolone będąc w ogólniaku A co w przypadku, kiedy mam takie coś:

\(\displaystyle{ W(x) = x^{4}-x^{3}-9x^{2}+ax+2}\)

\(\displaystyle{ P(x) = x^2 + 2x + b}\)

Polecenie jw. Idzie to jakoś policzyć pochodnymi?

[piasek101]

Tu bym dzielił.

[kamil13151]

Tak, lepiej dzielić. Choć można wyliczyć pierwiastki w zależności od \(\displaystyle{ b}\) i wstawić do \(\displaystyle{ W(x)}\) przyrównując do zera, ale to dosyć sporo liczenia by było. Tu pochodnych raczej się nie da wykorzystać, no chyba, że \(\displaystyle{ P(x)}\) miałby mieć dwukrotny pierwiastek.

Policzyłem pochodnymi ten przykład drugi i wyszło. Żebym to ja umiał liczby zespolone będąc w ogólniaku

Ja jestem w liceum... a tak poza tym Ty nie musisz umieć zespolonych cudownie, jedynie z grubsza tam co Ci potrzebne, czyli bardzo malutko .

[rnavy]

kas

[dawid.barracuda]

A do czego w liceum mogę wykorzystać liczby zespolone?

[kamil13151]

Właśnie np. do udowadniania, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ P(x)}\) kiedy \(\displaystyle{ P(x)}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych ( 263702.htm ).

[dawid.barracuda]

Podzieliłem ten przykład wyżej (gdzie w dzielniku na końcu mam parametr \(\displaystyle{ b}\) i wyszło takie coś:
\(\displaystyle{ b^{2} + (2b + a + 9)x + 3b + 2}\). To jest reszta; wynik: \(\displaystyle{ x^{2} - 3x - (3+b)}\). Proszę mnie jeszcze sprawdzić, czy jest dobrze dzielenie wykonane. Co dalej z tym mam zrobić?